Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A，B兩點，點P在拋物線上(與A，B兩點不重合)，若△ABP的三邊滿足AP2+BP2＝AB2，則我們稱點P為拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)的勾股點．

(1)直接寫出拋物線y＝x2﹣1的勾股點坐標(biāo)為_____；

(2)如圖2，已知拋物線：y＝ax2+bx(a＜0，b＞0)與x軸交于A、B兩點，點P為拋物線的頂點，問點P能否為拋物線的勾股點，若能，求出b的值；

(3)如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點A(2，0)，B(12，0)，點P到x軸的距離為1，點P是過A、B兩點的拋物線上的勾股點，求過P、A、B三點的拋物線的解析式和點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)(0，﹣1)；(2)當(dāng)b＝2時，點P為拋物線的勾股點；(3)當(dāng)過P，A，B三點的拋物線的解析式為y＝﹣x2+14x﹣24時，點P的坐標(biāo)為(7﹣2，1)或(7+2，1)；當(dāng)過P，A，B三點的拋物線的解析式為y＝x2﹣14x+24時，點P的坐標(biāo)為(7﹣2，﹣1)或(7+2，﹣1)．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線 可知與 軸的交點坐標(biāo)及的長度，設(shè)勾股點的坐標(biāo)為，再根據(jù)勾股點的定義可求出勾股點的坐標(biāo)；

（2）利用配方法可求出點的坐標(biāo)，由點為拋物線的勾股點可知為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出的值；

（3）設(shè)點的坐標(biāo)為 ，由到 軸的距離為1可知 ，根據(jù)勾股點的定義可列出關(guān)于的一元二次方程，即可得出點的坐標(biāo)，由點 三點可設(shè)拋物線的解析式為 ，由的坐標(biāo)利用系數(shù)待定法可求出該拋物線的解析式.

解：(1)當(dāng)時， ，

解之得： ，

∴點A的坐標(biāo)為 ，點B的坐標(biāo)為 ， ．

設(shè)拋物線的勾股點坐標(biāo)為，

∴ ，

∴ ．

∵ ，

∴ ，

∴ ，

解得： ．

當(dāng) 時， ，

解得： ．

∴拋物線 的勾股點坐標(biāo)為 ．

故答案為： ．

(2)∵，

∴點P的坐標(biāo)為 ．

若點P能為拋物線的勾股點，則為等腰直角三角形，

∴ ，

∴．

∴當(dāng)時，點P為拋物線的勾股點．

(3)設(shè)點P的坐標(biāo)為 ．

∵點P到x軸的距離為1，

∴．

∵ ，點A的坐標(biāo)為 ，點B的坐標(biāo)為 ，

根據(jù)兩點之間的距離公式

∴ ，

∴ ，

解得： ．

∴點P的坐標(biāo)為，．

設(shè)過P，A，B三點的拋物線的解析式為 ，

當(dāng)點P的坐標(biāo)為 時，將 代入 ，解之得：

，

∴設(shè)過P，A，B三點的拋物線的解析式為 ，即 ．

同理：當(dāng)點P的坐標(biāo)為 時，過P，A，B三點的拋物線的解析式為 ；

當(dāng)點P的坐標(biāo)為 時，過P，A，B三點的拋物線的解析式為 ；

當(dāng)點P的坐標(biāo)為 時，過P，A，B三點的拋物線的解析式為 ．

綜上所述：當(dāng)過P，A，B三點的拋物線的解析式為 時，點P的坐標(biāo)為 或 ；

當(dāng)過P，A，B三點的拋物線的解析式為 時，點P的坐標(biāo)為 或 ．