Question

20．我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．

（1）寫出你所學過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱矩形，正方形；
（2）如圖1，已知格點（小正方形的頂點）O（0，0），A（3，0），B（0，4），請你直接寫出所有以格點為頂點，OA、OB為勾股邊且有對角線相等的勾股四邊形OAMB的頂點M的坐標．
（3）如圖2，將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△DBE，連接AD、DC，∠DCB=30°．求證：DC²+BC²=AC²，即四邊形ABCD是勾股四邊形．
（4）若將圖2中△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)a度（0°＜a＜90°），得到△DBE，連接AD、DC，則∠DCB=（$\frac{1}{2}$α）°，四邊形BECD是勾股四邊形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股四邊形的定義，可知正方形、矩形直角梯形都是勾股四邊形；
（2）如圖1中，以O(shè)A、OB為勾股邊且有對角線相等的勾股四邊形OAMB的頂點M的坐標為（3，4）或（4，3）；
（3）如圖2，連接CE，只要證明△DCE是直角三角形即可解決問題．
（4）如圖3，當∠DCB=$\frac{1}{2}$α，四邊形BECD是勾股四邊形．連接CE，只要證明△DCE是直角三角形即可解決問題．

解答 解：（1）矩形，正方形；         
故答案為矩形，正方形；          

（2）如圖1所示：M（3，4），M（4，3）；     


（3）證明：如圖2，連接CE，

由旋轉(zhuǎn)得：△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，BC=BE，
又∵∠CBE=60°，
∴△CBE為等邊三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=30°+60°=90°，
∴DC²+EC²=DE²，
∴DC²+BC²=AC²．
∴即四邊形ABCD是勾股四邊形．                        

（4）如圖3，當∠DCB=$\frac{1}{2}$α，四邊形ABCD是勾股四邊形．
理由：連接CE，

由旋轉(zhuǎn)得：△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，BC=BE，
又∵∠CBE=α，
∴∠BCE=∠BEC=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠DCE=90°，
∴DC²+EC²=DE²，
∴即四邊形BECD是勾股四邊形．
故答案為：$\frac{1}{2}$α．

點評 本題考查四邊形綜合題、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．