Question

12．如圖所示，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=10，D為△ABC外的一點(diǎn)，連結(jié)AD、BD，過D作DH⊥AB，垂足為H，DH的延長線交AC于E．
（1）如圖1，若BD=AB，且$\frac{HB}{HD}$=$\frac{3}{4}$，求AD的長；
（2）如圖2，若△ABD是等邊三角形，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）由已知條件求出DH、BH、AH的值，由勾股定理即可求出AD的長；
（2）利用等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理先計算出DH的長，再利用三角形的中位線可求出EH，則DE的長可求解．

解答 解：（1）∵DH⊥AB，$\frac{HB}{HD}$=$\frac{3}{4}$，
∴可設(shè)HB=3k，則HD=4k，
∴根據(jù)勾股定理得：DB=5k，
∵BD=AB=10，
∴5k=10，
解得：k=2，
∴DH=8，BH=6，AH=4，
∴AD=$\sqrt{A{H}^{2}+H{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$；
（2）∵△ABD是等邊三角形，AB=10，
∴∠ADB=60°，AD=AB=10，
∵DH⊥AB，
∴AH=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴DH=$\sqrt{A{D}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{5}^{2}}$=5$\sqrt{3}$，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，即∠AEH=45°，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴EH=AH=5，
∴DE=DH+EH=5$\sqrt{3}$+5．

點(diǎn)評 本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理；熟練掌握等腰直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)，正確運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計算是解決問題的關(guān)鍵．