Question

在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax²+bx+2的圖象與x軸交于A（-3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）點P是直線AC上方的拋物線上一動點，是否存在點P，使△ACP的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；
（3）點Q是直線AC上方的拋物線上一動點，過點Q作QE垂直于x軸，垂足為E．是否存在點Q，使以點B、Q、E為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+2的圖象與x軸交于A（-3，0），B（1，0）兩點，
∴，
解得，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-x²-x+2；

（2）令x=0，則y=2，
∴點C（0，2），
設直線AC的解析式為y=kx+m（k≠0），
則，
解得，
∴直線AC的解析式為y=x+2，
由三角形的面積可知，平行于AC的直線與二次函數(shù)圖象只有一個交點時△ACP的面積最大，
此時設過點P的直線為y=x+n，
聯(lián)立，
消掉y得，-x²-x+2=x+n，
整理得，2x²+6x-6+3n=0，
△=6²-4×2×（-6+3n）=0，
解得n=，
此時x₁=x₂=-=-，
y=×（-）+=，
∴點P（-，）時，△ACP的面積最大；

（3）存在點Q（-2，2）或（-，）使以點B、Q、E為頂點的三角形與△AOC相似．
理由如下：設點E的橫坐標為c，則點Q的坐標為（c，-c²-c+2），
BE=1-c，
①OA和BE是對應邊時，∵△BEQ∽△AOC，
∴=，
即=，
整理得，c²+c-2=0，
解得c₁=-2，c₂=1（舍去），
此時，-×（-2）²-×（-2）+2=2，
點Q（-2，2）；
②OA和QE是對應邊時，∵△QEB∽△AOC，
∴=，
即=，
整理得，4c²-c-3=0，
解得c₁=-，c₂=1（舍去），
此時，-×（-）²-×（-）+2=，
點Q（-，），
綜上所述，存在點Q（-2，2）或（-，）使以點B、Q、E為頂點的三角形與△AOC相似．
分析：（1）把點A、B的坐標代入二次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）先求出點C的坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，然后判斷出平行于AC的直線與二次函數(shù)圖象只有一個交點時△ACP的面積最大，再聯(lián)立直線與二次函數(shù)解析式，消掉y，利用根的判別式△=0時方程只有一個根求解即可；
（3）設點E的橫坐標為c，表示出BE、QE，然后根據(jù)相似三角形對應邊成比例，分OA和BE，OA和QE是對應邊兩種情況列出比例式求解即可．
點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，三角形的面積，相似三角形對應邊成比例的性質，（2）判斷出與AC平行的直線與二次函數(shù)圖象只有一個交點時三角形的面積最大是解題的關鍵，（3）要分情況討論．