Question

11．如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點B，C在x軸上，A，D在第一象限，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過點A，交CD于點E，OB=2，AB=3．
（1）求k的值；
（2）若點E恰好是DC的中點．
①求直線AE的函數(shù)解析式；
②根據(jù)圖象回答，在第一象限內(nèi)，當x取何值時，反比例函數(shù)的函數(shù)值大于直線AE對應(yīng)函數(shù)的函數(shù)值？
③若直線AE與x軸交于點M，與y軸交于點N，請你判斷線段AN與線段ME的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得A的坐標，代入反比例函數(shù)的解析式即可求得k的值；
（2）E的縱坐標是$\frac{3}{2}$，代入反比例函數(shù)的解析式即可求得E的坐標，從而求得矩形的邊長AD和BC．
①利用待定系數(shù)法即可直接求解；
②根據(jù)函數(shù)圖象，反比例函數(shù)的函數(shù)值大于直線AE對應(yīng)函數(shù)的函數(shù)值，即求反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上邊部分x的范圍；
③延長DA交y軸于點F，利用勾股定理分別求得AN和ME的長，即可判斷．

解答 解：（1）∵OB=2，AB=3，
∴A的坐標是（2，3），
把A（2，3）代入y=$\frac{k}{x}$得：k=6；
（2）E恰好是DC的中點，則E的縱坐標是$\frac{3}{2}$，把y=$\frac{3}{2}$代入y=$\frac{6}{x}$得：x=4，
則E的坐標是（4，$\frac{3}{2}$）．
①設(shè)直線AE的解析式是y=kx+b，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{4k+b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
則直線AE的解析式是y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$；
②根據(jù)圖象回答，在第一象限內(nèi)，當0＜x＜2或4＜x＜6時，反比例函數(shù)的函數(shù)值大于直線AE對應(yīng)函數(shù)的函數(shù)值；
③延長DA交y軸于點F．
則AF⊥y軸，AF=2，F(xiàn)的坐標是（0，3），OF=3．
在y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$中，令x=0，解得y=$\frac{9}{2}$，即N的坐標是（0，$\frac{9}{2}$），NF=$\frac{9}{2}$-3=$\frac{3}{2}$；
令y=0，解得：x=6，則M的坐標是（6，0）．則CM=2．
則AN=$\sqrt{N{F}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
ME=$\sqrt{C{M}^{2}+E{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$．
則AN=ME．

點評 本題是一次函數(shù)、反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，注意通過圖象的交點坐標，利用函數(shù)圖象比較函數(shù)值的大小，要注意運用數(shù)形結(jié)合的思想．