Question

4．周長與面積（數(shù)值）相等的直角三角形中，R和r分別表示外接圓與內(nèi)切圓的半徑的長，則（　�。�

• A． r是定值
• B． R是定值
• C． $\frac{R}{r}$是定值
• D． R+r是定值

Answer 1

分析 設(shè)直角三角形的三邊長分別為a、b、c，根據(jù)周長和面積相等得a+b+c=$\frac{1}{2}$ab，根據(jù)勾股定理得a²+b²=c²，
進(jìn)行變形得4（a+b+c）=（a+b+c）（a+b-c），則a+b-c=4，由直角三角形外接圓直徑是斜邊，圓心是斜邊的中點，所以直角三角形外接圓半徑R=$\frac{1}{2}$c，內(nèi)切圓的半徑r=$\frac{a+b-c}{2}$=2，從而得出結(jié)論：r是定值．

解答 解：設(shè)直角三角形的三邊長分別為a、b、c，且a＜b＜c，則a²+b²=c²，
由題意得：a+b+c=$\frac{1}{2}$ab，
∴c²=（a+b）²-2ab=（a+b）²-4（a+b+c），
∴4（a+b+c）=（a+b）²-c²=（a+b+c）（a+b-c），
∴a+b-c=4，
直角三角形外接圓半徑R=$\frac{1}{2}$c，內(nèi)切圓的半徑r=$\frac{a+b-c}{2}$=2，
故r是定值，由于R=$\frac{1}{2}$c，所以選項B、C、D都不正確，
故選A．

點評 本題考查了直角三角形的內(nèi)切圓和外接圓，掌握直角三角形內(nèi)切圓和外接圓半徑計算公式是關(guān)鍵；同時本題還運用了完全平方式和平方差公式對勾股定理得出的等式進(jìn)行變形，最后發(fā)現(xiàn)：周長與面積（數(shù)值）相等的直角三角形中，內(nèi)切圓的半徑r是定值．