Question

如圖，已知點(diǎn)C是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，CH⊥AB于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交直線AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為CH的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)F，直線CF交AB的延長(zhǎng)線于G．
（1）求證：AE·FD=AF·EC；
（2）求證：FC=FB；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半徑r的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵BD是⊙O的切線， ∴∠DBA=90°， ∵CH⊥AB， ∴CH∥BD， ∴△AEC∽△AFD， ∴=， ∴AE·FD=AF·EC； （2）證明：∵CH∥BD， ∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF， ∴==， ∵CE=EH（E為CH中點(diǎn)）， ∴BF=DF， ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ACB=∠DCB=90°， ∴CF=DF=BF， 即CF=BF； （3）解：∵BF=CF=DF（已證），EF=BF=2， ∴EF=FC， ∴∠FCE=∠FEC， ∵∠AHE=∠CHG=90°， ∴∠FAH+∠AEH=90°，∠G+∠GCH=90°， ∵∠AEH=∠CEF， ∴∠G=∠FAG， ∴AF=FG， ∵FB⊥AG， ∴AB=BG， 連接OC，BC， ∵BF切⊙O于B， ∴∠FBC=∠CAB， ∵OC=OA，CF=BF， ∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC， ∴∠FCB=∠CAB， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACO+∠BCO=90°， ∴∠FCB+∠BCO=90°，即OC⊥CG， ∴CG是⊙O切線， ∵GBA是⊙O割線， FB=FE=2， 由切割線定理得：（2+FG）2=BG×AG=2BG2， 在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG2=FG2﹣BF2， ∴FG2﹣4FG﹣12=0， 解得：FG=6，F(xiàn)G=﹣2（舍去）， 由勾股定理得：AG=BG==4， ∴⊙O的半徑是2．