Question

2．如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為DC上一點(diǎn)，連接AE，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，連接BF，∠AFB=∠EFB，G在BF上，連接AG、EG，F(xiàn)G平分∠AGE．
（1）求證：AF=EF；
（2）若AG=CE，BG=BC，求證：∠ABF=$\frac{1}{3}$∠AGF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意推知△EAG為等腰三角形，結(jié)合等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)證得結(jié)論；
（2）如圖，連接EB．構(gòu)建全等三角形△BGE≌△BCE（SSS），結(jié)合全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等和平行四邊形的對(duì)邊相互平行的性質(zhì)推知∠ECB=∠ABE=∠GAB=2∠ABF，∠AGF=∠ABF+∠GAB，
所以∠AGF=3∠ABF，即：∠ABF=$\frac{1}{3}$∠AGF．

解答 （1）證明：∵∠AFB=∠EFB，
∴∠AFB=∠EFB=90°，即FG⊥AE．
又∵FG平分∠AGE，
∴AF=EF；

（2）解：如圖，連接EB．
由（1）知，F(xiàn)G⊥AE，
又∵AF=EF，
∴BE=AB．
∵AG=EC=EG，
∴在△BGE與△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{EG=EC}\\{BG=BC}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BGE≌△BCE（SSS），
∴∠BEG=∠BEC．
又∵EC∥AB，
∴∠ECB=∠ABE=∠GAB=2∠ABF，∠AGF=∠ABF+∠GAB，
∴∠AGF=3∠ABF，即：∠ABF=$\frac{1}{3}$∠AGF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．注意題中輔助線的作法是解題的難點(diǎn)．