Question

矩形紙片ABCD中，AD=12cm，現(xiàn)將這張紙片按下列圖示方式折疊，AE是折痕．
（1）如圖1，P，Q分別為AD，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在PQ上，求PF和AE的長(zhǎng)；
（2）如圖2，，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在PQ上，求AE的長(zhǎng)；
（3）如圖3，，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在PQ上．
①直接寫出AE的長(zhǎng)（用含n的代數(shù)式表示）；　②當(dāng)n越來越大時(shí)，AE的長(zhǎng)越來越接近于______．

Answer 1

解：（1）∵P、Q是矩形ABCD中AD，BC的中點(diǎn)，
∴，
∴∠AFP=30°，
∴，
∴∠FAD=60°，
∴，
∴，

（2）∵，
∴
∴，
∵DE=EF，∠AED=∠AEF，∠AED=∠FGE，
∴∠FGE=∠FEG，
∴EF=GF，
設(shè)DE=x，則GF=x
∵△APG∽△ADE，
∴，
∴
∴，
∴，
∴；

（3）①可得，
②∵，
∴當(dāng)n越來越大時(shí)，AE越來越接近于12．
故答案為：12．

分析：（1）根據(jù)P、Q是矩形ABCD中AD，BC的中點(diǎn)，可得，從而可得∠AFP=30°，∠FAD=60°然后利用三角函數(shù)值即可求解．
（2）根據(jù)，求得FP，利用DE=EF，∠AED=∠AEF，∠AED=∠FGE，求證EF=GF，設(shè)DE=x，則GF=x利用△APG∽△ADE的對(duì)應(yīng)邊成比例可求的AE．
（3）①可得，②當(dāng)n越來越大時(shí)，根據(jù)可判定AE的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問題）等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，特別是翻折變換（折疊問題）要求學(xué)生應(yīng)具備一定的空間想象能力，因此此題有一定的拔高難度，屬于難題．