Question

在平面直角坐標系xOy中，射線l：y=

3

x(x≥0)．點A是第一象限內(nèi)一定點，OA=4

3

，射線OA與射線l的夾角為30°．射線l上有一動點P從點O出發(fā)，以每秒2

3

個單位長度的速度沿射線l勻速運動，同時x軸上有一動點Q從點O出發(fā)，以相同的速度沿x軸正方向勻速運動，設運動時間為t秒．
（1）用含t的代數(shù)式表示PQ的長．
（2）若當P、Q運動某一時刻時，點A恰巧在線段PQ上，求出此時的t值．
（3）定義M拋物線：頂點為P，且經(jīng)過Q點的拋物線叫做“M拋物線”．若當P、Q運動t秒時，將△PQA繞其某邊中點旋轉(zhuǎn)180°后，三個對應頂點恰好都落在“M拋物線”上，求此時t的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)射線l解析式為y=

3

x(x≥0)得到∠POQ=60°，利用P，Q運動速度相同，得到OP=OQ=2

3

t，然后利用△OPQ是等邊三角形表示出PQ=2

3

t；
（2）首先根據(jù)題意表示出A（6，2

3

），P（

3

t，3t），Q（2

3

t，0），然后過點A作AB⊥x軸于B，得到AB=2

3

在Rt△ABQ中，∠ABQ=90°，∠AQB=60°，從而求得BQ，求得OQ的長即可求得時間；
（3）首先由拋物線的對稱性得到拋物線經(jīng)過P、Q、O三點P(

3

t，3t)，Q(2

3

t，0)，O（0，0），設：拋物線M的解析式為y=ax(x-2

3

t)；將P(

3

t，3t)代入可得a=-

1

t

從而確定拋物線的解析式為：y=-

1

t

x2+2

3

x，然后根據(jù)對稱軸四邊形PAQA′是平行四邊形，例用P（

3

t，3t），Q（2

3

t，0），A（6，2

3

），得到A′（3

3

t-6，3t-2

3

），代入拋物線y=-

1

t

x²+2

3

x即可求得時間t．

解答：解：（1）∵射線l解析式為y=

3

x(x≥0)，
∴∠POQ=60°．
∵P，Q運動速度相同，
∴OP=OQ=2

3

t，
∴△OPQ是等邊三角形，
∴PQ=2

3

t；

（2）由題意：A（6，2

3

），P（

3

t，3t），Q（2

3

t，0），
過點A作AB⊥x軸于B，如圖1，
則AB=2

3

，
∵在Rt△ABQ中，∠ABQ=90°，∠AQB=60°，
∴BQ=

AB

3

=2，

∴OQ=OB+BQ=8，
∴t=

OQ

2 3

=

4

3

3

秒；

（3）由拋物線的對稱性知：拋物線經(jīng)過P、Q、O三點P（

3

t，3t），Q（2

3

t，0），O（0，0），如圖2，
不妨設：拋物線M的解析式為y=ax（x-2

3

t），
將P（

3

t，3t）代入可得a=-

1

t

，
得到拋物線的解析式為：y=-

1

t

x²+2

3

x，
顯然：△PQA繞PQ中點旋轉(zhuǎn)180°后，三個對應頂點在拋物線上，
設A的對應點為A′，如圖3，
得到四邊形PAQA′是平行四邊形，
∵P（

3

t，3t），Q（2

3

t，0），A（6，2

3

），
∴A′（3

3

t-6，3t-2

3

），
將A′（3

3

t-6，3t-2

3

），代入拋物線y=-

1

t

x²+2

3

x，
解得t=

2

3

3

或t=

3

2

3

，
∴當經(jīng)過t=

2

3

3

秒或t=

3

2

3

秒時，△PQA繞PQ中點旋轉(zhuǎn)180°后，三個對應頂點在“M拋物線”上．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，題目中涉及到了動點問題，并且與幾何知識聯(lián)系起來，難度較大．