Question

2．如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，點(diǎn)P自B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，它們的速度均為2cm/s．以AQ、PQ為邊作平行四邊形AQPD，連接DQ，交AB于點(diǎn)E．設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t（單位：s）（0≤t≤4）．解答下列問題：
 （1）當(dāng)t為何值時(shí)，平行四邊形AQPD為矩形． 
（2）在點(diǎn)P，Q運(yùn)動過程中，平行四邊形AQPD的面積能否等于18cm²？如果能，請求出t的值；如果不能，請說明理由．
（3）當(dāng)t=$\frac{25}{13}$時(shí)，平行四邊形AQPD為菱形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△AQP∽△ACB，利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可求解；
（2）首先利用勾股定理求得AB=10，然后表示出AP，利用平行四邊形對角線互相平分表示出線段AE，利用△APH∽△ABC，利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等列出方程，從而進(jìn)行判斷；
（3）當(dāng)?AQPD是菱形時(shí)，DQ⊥AP，則 cos∠BAC=$\frac{AE}{AQ}$=$\frac{AC}{AB}$，據(jù)此即可列方程求解．

解答 解：由題意可知：AQ=BP=28，AB=20cm．
（1）∵四邊形AQPD是矩形，
∴∠PQA=∠C=90°
又∵∠BAC=∠BAC，
∴△AQP∽△ACB，
∴$\frac{AQ}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，
∴$\frac{2t}{8}$=$\frac{10-2t}{10}$
∴t=$\frac{20}{9}$．
答：當(dāng)t=$\frac{20}{9}$時(shí)，平行四邊形AQPD為矩形．

（2）過P作PH⊥AC于H．
∵PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴$\frac{PH}{6}$=$\frac{AP}{AB}$，
∴$\frac{PH}{6}$=$\frac{10-2t}{10}$，
∴PH=$\frac{3}{5}$（10-2t）．
∵S_□AQPD=AQ•PH=18，
∴2t•$\frac{3}{5}$（10-2t）=18，
∴2t²-10t﹢15=0．
∵△=（-10）²-4×2×15
=100-120
=-20＜0
∴不能；

（3）當(dāng)?AQPD是菱形時(shí)，DQ⊥AP，
則 cos∠BAC=$\frac{AE}{AQ}$=$\frac{AC}{AB}$   
即 $\frac{5-t}{2t}$=$\frac{4}{5}$，
解之  t=$\frac{25}{13}$．
故答案是：$\frac{25}{13}$．

點(diǎn)評 本題是相似形和平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)和判定定理的綜合應(yīng)用，正確理解平行四邊形AQPD為矩形以及?AQPD是菱形的條件是關(guān)鍵．