Question

14．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+mx+n與直線y=-$\frac{1}{2}$x+3交于A，B兩點(diǎn)，交x軸與D，C兩點(diǎn)，連接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求tan∠BAC的值；
（3）設(shè)E為線段AC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接DE，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DE以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，再沿線段EA以每秒$\sqrt{2}$個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到A后停止，當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)解方程組，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得BC，AC，根據(jù)角的和差，可得∠ACB的度數(shù)，根據(jù)正切函數(shù)的定義，可得答案；
（3）根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得AE與NE的關(guān)系，根據(jù)路程與速度，可得DE+EN，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得DE+EN=D′E+EN，根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)，可得ND′=OC=3，ON=D′C=DC，根據(jù)線段的和差，可得ON，
根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得NE的長(zhǎng)，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+mx+n，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}×9+3m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$．
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{5}{2}}\\{n=3}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+3}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$（不符合題意，舍），$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1）．
過點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，如圖1．
∵C（3，0），B（4，1），
∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4-3=1，
∴BH=CH=1．
∵∠BHC=90°，
∴∠BCH=45°，BC=$\sqrt{2}$．
同理：∠ACO=45°，AC=3$\sqrt{2}$，
∴∠ACB=180°-45°-45°=90°，
∴tan∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$；
（3）過點(diǎn)E作EN⊥y軸于N，如圖2．
在Rt△ANE中，EN=AE•sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE，即AE=$\sqrt{2}$EN，
∴點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中所用的時(shí)間為$\frac{DE}{1}$+$\frac{EA}{\sqrt{2}}$=DE+EN．
作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接D′E，
則有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，
∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：
當(dāng)D′、E、N三點(diǎn)共線時(shí)，DE+EN=D′E+EN最�。�
此時(shí)，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°，
∴四邊形OCD′N是矩形，
∴ND′=OC=3，ON=D′C=DC．
對(duì)于y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3，當(dāng)y=0時(shí)，有$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3=0，
解得：x₁=2，x₂=3．
∴D（2，0），OD=2，
∴ON=DC=OC-OD=3-2=1，
∴NE=AN=AO-ON=3-1=2，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用直角三角的性質(zhì)得出BC，AC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵，又利用了正切函數(shù)的定義；利用兩點(diǎn)之間線段最短得出EN+DE=ND′是解題關(guān)鍵，又利用了矩形的判定與性質(zhì)．