Question

3．如圖1，已知?ABCD，AB∥x軸，AB=6，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，-4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，4），點(diǎn)B在第四象限，點(diǎn)P是?ABCD邊上的一個動點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)P在邊BC上，PD=CD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）若點(diǎn)P在邊AB，AD上，點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)Q落在直線y=x-1上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）若點(diǎn)P在邊AB，AD，CD上，點(diǎn)G是AD與y軸的交點(diǎn)，如圖2，過點(diǎn)P作y軸的平行線PM，過點(diǎn)G作x軸的平行線GM，它們相交于點(diǎn)M，將△PGM沿直線PG翻折，當(dāng)點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）由題意點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，可得點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，4）；
（2）分兩種情形①當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上時，②當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時，分別列出方程即可解決問題；
（3）分三種情形①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時．②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在AB上時．③如圖3中，當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時．分別求解即可；

解答 解：（1）∵CD=6，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，4）．

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上時，
∵直線AD的解析式為y=-2x-2，
設(shè)P（a，-2a-2），且-3≤a≤1，
若點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)Q₁（a，2a+2）在直線y=x-1上，
∴2a+2=a-1，
解得a=-3，
此時P（-3，4）．
若點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)Q₃（-a，-2a-2）在直線y=x-1上時，
∴-2a-2=-a-1，解得a=-1，此時P（-1，0）
②當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時，設(shè)P（a，-4）且1≤a≤7，
若等P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)Q₂（a，4）在直線y=x-1上，
∴4=a-1，解得a=5，此時P（5，-4），
若點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)Q₄（-a，-4）在直線y=x-1上，
∴-4=-a-1，
解得a=3，此時P（3，-4），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，4）或（-1，0）或（5，-4）或（3，-4）．

（3）①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時，設(shè)P（m，4）．

在Rt△PNM′中，∵PM=PM′=6，PN=4，
∴NM′=$\sqrt{M′{P}^{2}-P{N}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
在Rt△OGM′中，∵OG²+OM′²=GM′²，
∴2²+（2$\sqrt{5}$+m）²=m²，
解得m=-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴P（-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，4）
根據(jù)對稱性可知，P（$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，4）也滿足條件．
②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在AB上時，易知四邊形PMGM′是正方形，邊長為2，此時P（2，-4）．

③如圖3中，當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時，設(shè)AD交x軸于R．易證∠M′RG=∠M′GR，推出M′R=M′G=GM，設(shè)M′R=M′G=GM=x．

∵直線AD的解析式為y=-2x-2，
∴R（-1，0），
在Rt△OGM′中，有x²=2²+（x-1）²，解得x=$\frac{5}{2}$，
∴P（-$\frac{5}{2}$，3）．
點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，-4）或（-$\frac{5}{2}$，3）或（-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，4）或（$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，4）．

點(diǎn)評 本題考查一次函數(shù)綜合題、平行四邊形的性質(zhì)、翻折變換、勾股定理、正方形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．