Question

11．將一塊含有45°的三角板ABC的頂點(diǎn)A放在⊙O上，且AC與⊙O相切于點(diǎn)A（如圖1），將△ABC從點(diǎn)A開始，繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜135°），旋轉(zhuǎn)后，AC、AB分別與⊙O交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF（如圖2）．已知AC=8，⊙O的半徑為4．
（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，有以下幾個(gè)量：①弦EF的長(zhǎng)；②EF的長(zhǎng)；③∠AFE的度數(shù)；④點(diǎn)O到EF的距離．其中不變的量是①②④（填序號(hào)）；
（2）當(dāng)α=90°時(shí)，BC與⊙O相切（直接寫出答案）；
（3）當(dāng)BC與⊙O相切時(shí)，求△AEF的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OE、OF、過O作OD⊥EF于D，根據(jù)圓周角定理求出∠EOF，解直角三角形求出EF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出OD即可；
（2）根據(jù)題意得出旋轉(zhuǎn)后的α=∠ACB，即可得出答案；
（3）解直角三角形求出AF和EF，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．

解答 解：（1）①②④，理由是：
如圖1，連接OE、OF、過O作OD⊥EF于D，

∵∠A=45°，
∴∠EOF=2∠A=90°，
∵OE=OF=4，
∴由勾股定理得：EF=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵OD⊥EF，OE=OF，
∴ED=DE=$\frac{1}{2}$EF，
∵∠EOF=90°，
∴OD=$\frac{1}{2}$EF=2$\sqrt{2}$，
所以①②④是不不變量，
∠AFE的值隨著運(yùn)動(dòng)而不斷變化的，不能確定，
故答案為：①②④；

（2）當(dāng)α=90°時(shí)，BC與⊙O相切，
理由是：連接OA，
∵已知AC和⊙O相切，如圖2，

∴∠OAC=90°，
△ACB繞A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到BC和⊙O相切時(shí)，如圖3，

∠ACB=90°，
即圖2中的AC和圖3中的BC互相平行，
所以α=∠ACB=90°，
故答案為：90；

（3）如圖3，當(dāng)BC與⊙O相切時(shí)，
依題意可知，△ACB旋轉(zhuǎn)90°后AC為⊙O直徑，且點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，
∵AC為⊙O直徑，
∴∠AFE=90°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠FCA=45°．
∴∠BAC=∠FCA，
∴AF=EF，
∵AC=8，
∴AF=EF=4$\sqrt{2}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$×（4$\sqrt{2}$）²=16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．