Question

⊙O₁與⊙O₂相切于點(diǎn)P，過點(diǎn)P的直線交⊙O₁于點(diǎn)A，交⊙O₂于點(diǎn)B，求證：O₁A∥O₂B．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)當(dāng)⊙O1與⊙O2外切時(如圖1)， 　　連結(jié)O1O2，則P在O1O2上． 　　∵O1A＝O2P，∴∠A＝∠O1PA． 　　同理∠B＝∠O2PB，又∠O1PA＝∠O2PB， 　　∴∠A＝∠B，∴O1A∥O2B． 　　(2)當(dāng)⊙O1與⊙O2內(nèi)切時(如圖2)， 　　連結(jié)O1O2并延長，則必經(jīng)過P點(diǎn)． 　　∵O1A＝O1P，∴∠P＝∠O1AP． 　　同理∠P＝∠O2BP，∴∠O2AP＝∠O2BP， 　　∴O1A∥O2B． 　　思路點(diǎn)撥：兩圓相切，但沒有指出是內(nèi)切還是外切，必須討論兩種情況．為了證明O1A∥O2B，又注意到⊙O1與⊙O2相切，則想到作出連心線，這樣可構(gòu)造出三角形，展示出相切兩圓中的隱含性質(zhì)． 　　評注：本題再一次展示了兩圓相切時，作出連心線的重要性．