Question

如圖，將OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐標系中，動點M、N以每秒１個單位的速度分別從點A、C同時出發(fā)，其中點M沿AO向終點O運動，點N沿CB向終點B運動，當兩個動點運動了t秒時，過點N作NP⊥BC，交OB于點P，連接MP．

  （1）點B的坐標為　  ；用含t的式子表示點P的坐標為     ；(3分)

（2）記△OMP的面積為S，求S與t的函數關系式（0 < t < 6）；并求t為何值時，S有最大值？(4分)

（3）試探究：當S有最大值時，在y軸上是否存在點T，使直線MT把△ONC分割成三角形和四邊形兩部分，且三角形的面積是△ONC面積的？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．(3分)

 

Answer 1

解：（1）（6，4）；（）.（其中寫對B點得1分）

（2）∵S_△OMP =×OM×，

∴S =×（6 -t）×=+2t．

   ＝（0 < t <6）．

∴當時，S有最大值．

     （3）存在．

    由（2）得：當S有最大值時，點M、N的坐標分別為：M（3，0），N（3，4），

則直線ON的函數關系式為：．

   設點T的坐標為（0，b），則直線MT的函數關系式為：，

解方程組得

∴直線ON與MT的交點R的坐標為．

∵S_△OCN ＝×4×3＝6，∴S_△ORT ＝ S_△OCN ＝2．

① 當點T在點O、C之間時，分割出的三角形是△OR₁T₁，如圖，作R₁D₁⊥y軸，D₁為垂足，則S_△OR1T1＝••••RD₁•OT ＝••b＝2.

∴，      b =.

∴b₁ ＝，b₂ ＝（不合題意，舍去）

此時點T₁的坐標為（0，）.

② 當點T在OC的延長線上時，分割出的三角形是△R₂NE，如圖，設MT交CN于點E，由①得點E的橫坐標為，作R₂D₂⊥CN交CN于點D₂，則

S_△R2NE＝•EN•R₂D₂ =••＝2.

∴，b=.

∴b₁＝，b₂＝（不合題意，舍去）．

∴此時點T₂的坐標為（0，）．

綜上所述，在y軸上存在點T₁（0，），T₂（0，）符合條件