Question

17．如圖在△ABC中，D為邊AB上一點，且AC²=AD•AB，BC²=BD•AB，求證：CD⊥AB．

Answer 1

分析 根據(jù)AC²=AD•AB，BC²=BD•AB，即可得出△ACD∽△ABC，△BDC∽△BCA，進而即可得出∠ADC=∠ACB、∠BDC=∠BCA，再由點D為邊AB上一點即可得出∠ADC+∠BDC=180°，∠ADC=∠BDC=90°，此題得證．

解答 解：∵AC²=AD•AB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ADC=∠ACB．
∵BC²=BD•AB，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{AB}$，
∴△BDC∽△BCA，
∴∠BDC=∠BCA．
∴∠ADC=∠BDC．
∵點D為邊AB上一點，
∴∠ADC+∠BDC=180°，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴CD⊥AB．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出∠ADC=∠BDC=90°．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)兩三角形邊與邊之間的關(guān)系找出兩三角形相似是關(guān)鍵．