Question

4．如圖①，線段AB=10，E為AB上任意一點(diǎn)，分別以AE、BE為邊在AB的同側(cè)作等邊△ADE和等邊△BCE，連接AC，DB．交于點(diǎn)O．
（1）判斷AC，BD的數(shù)量關(guān)系和∠AOD的大小，并說明理由．
（2）如圖②，AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)分別為P、Q、M、N，判斷四邊形PQMN的形狀，并說明你的理由．
（3）計(jì)算四邊形PQMN的周長的最大值；并直接寫出四邊形PQMN的面積的最大值．
（4）如圖③，將△BCE繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其它條件不變，四邊形PQMN的周長和面積的最大值分別為多少，并說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）將△ACE以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到△DCB，可知△AEC≌△DBC，推出AC=BD，∠AOD可看作△AOB的外角，利用外角的性質(zhì)，全等的性質(zhì)，將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得出∠AOD的度數(shù)
（2）由AEC≌△DEB得AC=DB，根據(jù)AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)分別為P、Q、M、N，可證PQ=MN=$\frac{1}{2}$AC，PQ∥MN∥AC，四邊形PQMN為平行四邊形，鄰邊相等的平行四邊形可以判定為菱形；
（3）首先由PN∥BD，AC∥MN，推出∠MNP=∠CFP=∠AOD=60°，當(dāng)點(diǎn)A、點(diǎn)E重合時(shí)，四邊形PQMN的周長最大，面積最大．
（4）首先證明四邊形PQMN是有一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形，由圖象可知，當(dāng)點(diǎn)A、點(diǎn)E、點(diǎn)C共線時(shí)，四邊形PQMN的周長最大，面積最大．

解答 解：（1）如圖1中，將△ACE以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到△DCB．

∴△AEC≌△DBC，
∴∠DBC=∠AEC，AC=BD
又∠AOD是△AOB的外角，
∴∠AOD=∠DBC+∠CAE=∠AEC+∠CAE=∠ECB=60°．

（2）如圖2中，四邊形PQMN為菱形．

理由：連接AC、BD，
∵AE=DE，∠AEC=∠DEB，CE=BE，
∴△AEC≌△DEB，
∴AC=DB，
∵AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)分別為P、Q、M、N，
∴PQ=MN=$\frac{1}{2}$AC，PQ∥MN∥AC，
∴四邊形PQMN為平行四邊形，
同理MQ=$\frac{1}{2}$BD，
∴MQ=PQ，
∴四邊形PQMN為菱形；

（3）如圖2中，AC與BD交于點(diǎn)O，AC與PN交于點(diǎn)F，由（1）可知，∠AOD=60°，
∵PN∥BD，AC∥MN，
∴∠MNP=∠CFP=∠AOD=60°，
當(dāng)點(diǎn)A、點(diǎn)E重合時(shí)，四邊形PQMN的周長最大，面積最大，
此時(shí)AC=AB=10，PQ=$\frac{1}{2}$AC=5，
∴四邊形PQMN的周長最大值為20，面積最大值為$\frac{25\sqrt{3}}{2}$．

（4）如圖3中，

連接AC、BD，AC與BD交于點(diǎn)O，AC與PN交于點(diǎn)F，
∵AE=DE，∠AEC=∠DEB，CE=BE，
∴△AEC≌△DEB，
∴AC=DB，
∵AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)分別為P、Q、M、N，
∴PQ=MN=$\frac{1}{2}$AC，PQ∥MN∥AC，
∴四邊形PQMN為平行四邊形，
同理MQ=$\frac{1}{2}$BD，
∴MQ=PQ，
∴四邊形PQMN為菱形．
∵∠OCE=∠OBE，
∴∠COB=∠CEB=60°，
∵PN∥BD，AC∥MN，
∴∠MNP=∠CFP=∠AOD=60°，
當(dāng)點(diǎn)A、點(diǎn)E、點(diǎn)C共線時(shí)，四邊形PQMN的周長最大，面積最大，
此時(shí)四邊形PQMN的周長最大值為25，面積最大值為$\frac{25\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的證明，全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，菱形的判定，平行四邊形的判定，本題中求證AC=BD，∠AOD=60°是解題的關(guān)鍵，屬于中考壓軸題．