Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，8），點(diǎn)B（6，0），點(diǎn)P從B點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度沿著BA方向出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止，若設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，AP=8（請(qǐng)直接寫出答案）；
（2）當(dāng)△OBP是直角三角形時(shí)，t=10s或3.6s（請(qǐng)直接寫出答案）；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△OBP是等腰三角形？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)的坐標(biāo)得出OA=8，OB=6，由勾股定理求出AB，即可得出AP的長；
（2）分兩種情況：①當(dāng)∠BOP=90°時(shí)，PB=AB=10，得出t=10；②當(dāng)∠OPB=90°時(shí)，證明△OBP∽△ABO，得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出BP，即可得出結(jié)果；
（3）分三種情況：①當(dāng)PB=PO時(shí)，∠POB=∠PBO，證出∠OAP=∠AOP，得出OP=AP，求出PB=$\frac{1}{2}$AB=5，即可得出結(jié)果；②當(dāng)BP=BO=6時(shí)，得出t=6；③當(dāng)OP=OB=6時(shí)，作OM⊥PB于M，則BM=PM=$\frac{1}{2}$BP，由（2）得：BM=3.6，得出BP=2BM=7.2，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）∵A（0，8），點(diǎn)B（6，0），
∴OA=8，OB=6，
∵∠AOB=90°，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∵BP=t=2，
∴AP=AB-BP=8；
故答案為：8；
（2）分兩種情況：①當(dāng)∠BOP=90°時(shí)，PB=AB=10，
∴t=10s；
②當(dāng)∠OPB=90°時(shí)，∠OPB=∠AOB，
又∵∠OBP=∠ABO，
∴△OBP∽△ABO，
∴$\frac{PB}{OB}=\frac{OB}{AB}$，即$\frac{PB}{6}=\frac{6}{10}$，
解得：PB=3.6，
∴t=3.6s；
綜上所述：當(dāng)△OBP是直角三角形時(shí)，t=10s或3.6s；
故答案為：10或3.6；
（3）當(dāng)t為5s或6s或7.2s時(shí)，△OBP是等腰三角形；理由如下：
分三種情況：
①當(dāng)PB=PO時(shí)，∠POB=∠PBO，
∵∠OAP+∠PBO=90°，∠AOP+∠POB=90°，
∴∠OAP=∠AOP，
∴OP=AP，
∴PB=OP=AP=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴t=5s；
②當(dāng)BP=BO=6時(shí)，t=6s；
③當(dāng)OP=OB=6時(shí)，作OM⊥PB于M，如圖所示：
則BM=PM=$\frac{1}{2}$BP，
由（2）得：BM=3.6，
∴BP=2BM=7.2，
∴t=7.2s；
綜上所述：當(dāng)t為5s或6s或7.2s時(shí)，△OBP是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形綜合題目，考查了勾股定理、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，進(jìn)行分類討論是解決問題的關(guān)鍵．