Question

9．如圖所示，輪船由A處以每小時28海里的速度向正北方向航行，此時測得燈塔M在北偏東30°的方向上（即∠BAM=30°）．半小時后，輪船航行到B處，此時測得燈塔M在北偏東60°的方向（即∠DBM=60°）．
（1）求此時輪船與燈塔M的距離是多少？
（2）已知MD⊥AD，AD=21海里，當輪船從B處繼續(xù)往正北方向航行時，經(jīng)過多久輪船距離燈塔M最近？
（3）當輪船從B處繼續(xù)向正北方向航行，又經(jīng)半小時后到達C處，問此時輪船與燈塔M的距離又是多少？燈塔M在輪船的什么方向上？

Answer 1

分析 （1）由題意得，AB=28×0.5=14，∠BAM=30°，∠DBM=60°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠BMA=∠DBM-∠BAM=30°，根據(jù)等腰三角形的判定即可得到結(jié)論；
（2）由題意得到輪船到達D距離燈塔M最近，列式即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)三角函數(shù)的定義得到DM=7$\sqrt{3}$，根據(jù)勾股定理得到CM=$\sqrt{D{C}^{2}+D{M}^{2}}$=7$\sqrt{2}$海里，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由題意得，AB=28×0.5=14，∠BAM=30°，∠DBM=60°，
∴∠BMA=∠DBM-∠BAM=30°，
∴BM=AB=14，
∴此時輪船與燈塔M的距離是14海里；
（2）∵MD⊥AD，
∴輪船到達D距離燈塔M最近，
∵AD=21，
∴AD-AB=7，
∵7÷28=$\frac{1}{4}$，
∴經(jīng)過$\frac{1}{4}$小時輪船距離燈塔M最近；
（3）∵∠ADM=90°，
∴$\frac{DM}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵AD=21，
∴DM=7$\sqrt{3}$，
∵BC=28×0.5=14，
∴DC=7，
∴CM=$\sqrt{D{C}^{2}+D{M}^{2}}$=7$\sqrt{2}$海里，
∴此時輪船與燈塔M的距離是7$\sqrt{2}$海里；
∵DM=DC，
∴∠DCM=45°，
∴燈塔M在輪船的東南方向上．

點評 本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定，正確理解方向角的定義是解題的關(guān)鍵．