Question

如圖，AB是⊙O的直徑，P是弦AC延長線上一點，且AC=CP，直線PB交⊙O于點D．
（1）求證：CP=CD；
（2）若⊙O的直徑是2，∠A=30°，求圖中BC的長及陰影部分的面積．

Answer 1

考點：圓周角定理,扇形面積的計算

專題：

分析：（1）連接BC，則可知BC⊥AP，結(jié)合AC=PC，可得AB=BP，則∠A=∠P，結(jié)合圖形得∠A=∠D，所以可得∠D=∠P，得出結(jié)論；
（2）在Rt△ABC中可求得BC，連接OC，可求得扇形OBC的面積，進一步求得弓形的面積，再利用△BCP的面積相減可求得陰影部分的面積．

解答：（1）證明：如圖1，連接BC，

∵AB為直徑，
∴∠BCA=90°，且AC=CP，
∴△ABP為等腰三角形，
∴∠A=∠P，
又∵∠A=∠D，
∴∠P=∠D，
∴CP=CD；

（2）解：如圖2，連接OC，

∵∠A=30°，
∴∠BOC=2∠A=60°，
∵AB=2，
∴BC=

1

2

AB=1，則AC=

3

，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×

3

×1=

3

2

，
∴S_扇形BOC=

1

6

π×1²=

π

6

，S_△BOC=

1

2

S_△ABC=

3

4

，
∴S_弓形BOC=S_扇形BOC-S_△BOC=S_扇形BOC=

π

6

-

3

4

，
∴S_陰影=S_△PCB-S_弓形BOC=S_△ABC-S_弓形BOC=

3

2

-（

π

6

-

3

4

）=

3 3

4

-

π

6

．

點評：本題主要考查圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)、扇形面積的計算等，解題的關(guān)鍵是把陰影部分的面積化成規(guī)則圖形的面積的和或差．