Question

已知正方形ABCD中，M是AB的中點，E是AB延長線上一點，MN⊥DM且交∠CBE的平分線于N，如圖．

(1)求證：MD＝MN；

(2)若將上述條件中的“M是AB的中點”改為“M是AB上任意一點”，其余條件不變，如下圖，則結(jié)論“MD＝MN”還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)取AD的中點P，連接PM． 　　∵四邊形ABCD是正方形，∠A＝，AD＝AB， 　　∴∠ADM＋∠DMA＝． 　　又∵MN⊥MD，∴∠DMA＋∠BMN＝，∴∠ADM＝∠BMN． 　　又AP＝AM，∴∠APM＝∠AMP＝，∠DPM＝． 　　且BN平分∠CBE，∴∠EBN＝，∴∠MBN＝，∴∠MBN＝∠DPM． 　　又DP＝BM＝AB，∴△DPM≌△MBN，∴DM＝MN． 　　(2)同上可證MD＝MN仍成立，證明過程中只是由AP＝AM可知DP＝BM，可證得△DPM≌△MBN． 　　分析(1)在圖中，由于M是AB的中點，若取P為AD的中點，可看到△DMP≌△MNB，從而MD＝MN． 　　(2)當(dāng)M為AB上任意一點時，若在AD上取AP＝AM，則可以證得△DMP≌△MNB，同樣可以證得MD＝MN．