Question

3．閱讀材料：如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．設CD=x，若AB=4，DE=2，BD=8，則可用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長為$\sqrt{16+（8-x）^{2}}$+$\sqrt{4+{x}^{2}}$．然后利用幾何知識可知：當A、C、E在一條直線上時，x=$\frac{8}{3}$時，AC+CE的最小值為10．根據(jù)以上閱讀材料，可構圖求出代數(shù)式$\sqrt{25+（12-x）^{2}}$+$\sqrt{9+{x}^{2}}$的最小值為4$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知圖象，重新構造直角三角形，利用三角形相似得出CD的長，進而利用勾股定理得出最短路徑問題．

解答 解：如圖所示：C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．設CD=x，
若AB=5，DE=3，BD=12，
當A，C，E，在一條直線上，AE最短，
∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴AB∥DE，
∴△ABC∽EDC，
∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{BC}{CD}$，
∴$\frac{5}{3}$=$\frac{12-CD}{CD}$，
解得：DC=$\frac{9}{2}$．
即當x=$\frac{9}{2}$時，代數(shù)式$\sqrt{25+（12-x）^{2}}$+$\sqrt{9+{x}^{2}}$有最小值，
此時為：$\sqrt{25+（12-\frac{9}{2}）^{2}}$+$\sqrt{9+（\frac{9}{2}）^{2}}$=4$\sqrt{13}$．
故答案為：4$\sqrt{13}$．

點評 本題主要考查最短路線問題，利用了數(shù)形結合的思想，可通過構造直角三角形，利用勾股定理求解．