Question

△ABC的高AD、BE所在的直線交于點(diǎn)M，若BM=AC，求∠ABC的度數(shù)．

Answer 1

解：分兩種情況考慮：
當(dāng)∠ABC為銳角時(shí)，如圖1所示，
∵AD⊥DB，BE⊥AC，
∴∠MDB=∠AEM=90°，
∵∠AME=∠BMD，
∴∠CAD=∠MBD，
在△BMD和△ACD中，
，
∴△BMD≌△ACD（AAS），
∴AD=BD，即△ABD為等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°；
當(dāng)∠ABC為鈍角時(shí)，如圖2所示，
∵BD⊥AM，BE⊥AC，
∴∠BDM=∠BEC=90°，
∵∠DBM=∠EBC，
∴∠M=∠C，
在△BMD和△ACD中，
，
∴△BMD≌△ACD（AAS），
∴AD=BD，即△ABD為等腰直角三角形，
∴∠ABD=45゜，
則∠ABC=135゜．
分析：分兩種情況考慮：當(dāng)∠ABC為銳角時(shí)，如圖1所示，由AD垂直于BC，BE垂直于AC，利用垂直的定義得到一對(duì)直角相等，再由一對(duì)對(duì)頂角相等，得到∠CAD=∠MBD，根據(jù)一對(duì)直角相等，再由BM=AC，利用AAS得出三角形BMD與三角形ACD全等，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AD=BD，得到三角形ABD為等腰直角三角形，可得出∠ABC=45°；當(dāng)∠ABC為鈍角時(shí)，如圖2所示，同理利用AAS得出三角形ADC與三角形DBM全等，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AD=BD，得出三角形ABD為等腰直角三角形，求出∠ABD=45°，利用鄰補(bǔ)角定義即可求出∠ABC=135°．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．