Question

如圖（1）在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)E，AF平分于∠BAC，交BD于點(diǎn)F。

1.求證：EF+－ AC =AB

2.點(diǎn)C₁從C出發(fā)，沿著線段CB向點(diǎn)B運(yùn)動（不與點(diǎn)B重合），同時點(diǎn)A₁從A出發(fā)，沿著BA的延長線運(yùn)動，點(diǎn)C₁與點(diǎn)A₁的運(yùn)動速度相同，當(dāng)運(yùn)點(diǎn)C₁停止運(yùn)動時，另一動點(diǎn)A₁也隨之停止運(yùn)動。如圖（2）A_1、F₁平分∠BA∠BA₁C_1，交BD于F₁，過點(diǎn)F₁作F₁E₁⊥A₁C_1，垂足為E₁，請猜想E₁ F₁， A₁C₁，與AB三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想

3.在（2）的條件下，當(dāng)A₁E₁=3，C₁E₁=2，求BD的長。

 

Answer 1

 

1.過點(diǎn)F作FM⊥AB，RT△AMF≌△AEF  ∴AM＝AE   ∵∠ABE＝45°∴BM＝MF  ∴AB＝EF+AC

2.連接F₁C₁，過點(diǎn)F₁作F₁P⊥A₁B于P，F(xiàn)₁Q⊥BC于點(diǎn)Q

∵A₁F平分∠BA₁C₁∴E₁F₁=PF₁∴E₁F₁=PF₁=QF₁∵A₁F=A₁F∴RT△A₁E₁F₁≌RT△A₁PF₁∴A₁E₁=A₁P

同理QF₁=PF_1，∴E₁F₁=PF₁=QF₁∵A₁F=A₁F  RT△A₁E₁F₁≌RT△A₁PF₁∴A₁E₁=A₁P同理RT△QF₁C₁≌RT△E₁F₁C₁

C₁Q=C₁E₁∵A₁A=C₁C∴A₁B+BC₁=AB+A₁A+BC=2AB∴PB=PF₁=QF₁=QB

∴A₁B+BC₁=A₁P+PB+QB+C₁Q=A₁P+C₁Q+2E₁F₁

∴2AB=A₁E₁+C₁E₁+2E₁F₁=A₁C₁+2E₁F₁

∴E₁F₁+A₁C₁=AB

3.設(shè)PB=X∴QB=X  

∵A₁E₁=3；E₁C₁=2；A₁P=A₁E₁=3；QC₁=C₁E₁=2在RT△A₁BC₁中A₁B+BC₁=A₁C₁即（3+X）+（2+X）=5

∴X₁=1，X₂=-6（舍）∴PB=1，E₁F₁=1，∵A₁C₁=5∴AB=，BD=

解析:略