Question

8．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)P、M分別位于邊AC、BC上（不與原點(diǎn)重合），PQ⊥AB，垂足為Q，四邊形PMQN為平行四邊形
（1）設(shè)CP=x，BQ=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（2）當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)A重合時(shí)，求CM的長(zhǎng)；
（3）試問(wèn)：平行四邊形PMQN是否可能為正方形？若能，請(qǐng)求出其邊長(zhǎng)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先由勾股定理，求得CB：CA：AB=3：4：5，再判定△ABC∽△APQ，得出$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AC}$，據(jù)此列出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并根據(jù)CP的長(zhǎng)寫出定義域；
（2）先設(shè)CM=a，在Rt△PCM中，得出CP=$\frac{4}{3}$a，PM=$\frac{5}{3}$a，得到AP=8-$\frac{4}{3}$a，再根據(jù)△ABC∽△APQ，得出AQ=$\frac{4}{5}$AP=$\frac{4}{5}$（8-$\frac{4}{3}$a）=NQ，最后根據(jù)平行四邊形PMQN中，NQ=PM，列出關(guān)于a的方程$\frac{4}{5}$（8-$\frac{4}{3}$a）=$\frac{5}{3}$a，求得a的值即可；
（3）當(dāng)PM=QM，∠PMQ=90°時(shí)，平行四邊形PMQN為正方形．先過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥BC于D，判定△PCM≌△MDQ（AAS），得出PC=MD，CM=DQ，再設(shè)CP=x=MD，由（1）可得BQ=$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$，并根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，在Rt△BDQ中，求得DB=$\frac{3}{5}$（$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$），DQ=$\frac{4}{5}$（$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$），進(jìn)而得到CM=$\frac{4}{5}$（$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$），最后根據(jù)BC=CM+MD+BD=6，列出關(guān)于x的方程$\frac{4}{5}$（$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$）+x+$\frac{3}{5}$（$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$）=6，求得x的值，然后在Rt△PCM中，根據(jù)勾股定理，求得PM的長(zhǎng)即可．

解答 解：（1）如圖1，∵△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴由勾股定理得，AB=10，
∴CB：CA：AB=3：4：5，
設(shè)CP=x，BQ=y，則AQ=10-y，AP=8-x，
∵PQ⊥AB，∠C=90°，
∴∠C=∠AQP，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△APQ，
$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AC}$，
即$\frac{8-x}{10}$=$\frac{10-y}{8}$，
∴10（10-y）=8（8-x），
∴y=$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$（0＜x＜8）；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)A重合時(shí)，PM∥AB，
∴△PCM∽△ACB，
∴CM：CP：PM=3：4：5，
設(shè)CM=a，則CP=$\frac{4}{3}$a，PM=$\frac{5}{3}$a，AP=8-$\frac{4}{3}$a，
由（1）可得，△ABC∽△APQ，
∴AQ：AP=4：5，
∴AQ=$\frac{4}{5}$AP=$\frac{4}{5}$（8-$\frac{4}{3}$a）=NQ，
∵四邊形PMQN為平行四邊形，
∴NQ=PM，
∴$\frac{4}{5}$（8-$\frac{4}{3}$a）=$\frac{5}{3}$a，
解得a=$\frac{96}{41}$，
∴CM的長(zhǎng)為$\frac{96}{41}$；

（3）平行四邊形PMQN可能為正方形．
當(dāng)PM=QM，∠PMQ=90°時(shí)，平行四邊形PMQN為正方形．
如圖3，過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥BC于D，則∠QDM=∠C=90°，
∴∠DQM+∠QMD=90°=∠CMP+∠QMD，
∴∠DQM=∠CMP，
在△PCM和△MDQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DQM=∠CMP}\\{∠QDM=∠C}\\{QM=MP}\end{array}\right.$，
∴△PCM≌△MDQ（AAS），
∴PC=MD，CM=DQ，
∵QD∥AC，
∴△ABC∽QBD，
∴DB：DQ：BQ=3：4：5，
設(shè)CP=x，則MD=x，
由（1）可得BQ=$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$，
∴Rt△BDQ中，DB=$\frac{3}{5}$（$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$），DQ=$\frac{4}{5}$（$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$），
∴CM=$\frac{4}{5}$（$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$），
又∵BC=6，
∴CM+MD+BD=6，
即$\frac{4}{5}$（$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$）+x+$\frac{3}{5}$（$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$）=6，
解得x=$\frac{24}{53}$，
即CP=$\frac{24}{53}$，CM=$\frac{4}{5}$（$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$）=$\frac{168}{53}$，
∴Rt△PCM中，PM=$\sqrt{P{C}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{24}{53}）^{2}+（\frac{168}{53}）^{2}}$=$\frac{120}{53}\sqrt{2}$，
∴此時(shí)正方形PMQN的邊長(zhǎng)為$\frac{120}{53}\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、正方形的判定以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，并作輔助線構(gòu)造全等三角形，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想以及方程思想的運(yùn)用．