Question

如圖，已知直線y=-m（x-4）（m＞0）與x軸、y軸分別交于A、B兩點，以O(shè)A為直徑作半圓，圓心為C，過A作x軸的垂線AT，Ｍ是線段OB上一動點（與O點不重合），過M點作半圓的切線交直線AT于N，交AB于F，切點為P，連結(jié)CN、CM。
（1）證明：∠MCN=90°；
（2）設(shè)OM=x，AN=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）若OM=1，當(dāng)m為何值時，直線AB恰好平分梯形OMNA的面積。

Answer 1

解（1）∵AT⊥AO，OM⊥AO，AO是⊙C的直徑， 　　 ∴AT、OM是⊙C的切線， 又∵M(jìn)N切⊙C于點P， ∴∠CMN=∠OMN，∠CNM=∠ANM， ∵OM∥AN， ∴∠ANM+∠OMN=180°， ∴∠CMN+∠CNM =∠OMN+∠ANM=（∠OMN+∠ANM ）=90°， ∴∠CMN=90°； （2）由（1）可知：∠1+∠2 = 90 °，而∠2 +∠3=90°， ∴∠1 =∠3； ∴Rt△MOC∽Rt△CAN，　　 ∴， ∵直線y=-m（x-4）交x軸于點A，交y軸于點B， ∴A（4，0）， ∴AC=CO=2， ∵OM=x，AN=y， ∵， ∴y=； （3）∵OM=1， ∴AN=y= 4， 此時S四邊形ANMO=10， ∵直線AB平分梯形ANMO的面積， ∴△ANF的面積為5， 過點F作FG⊥AN于G，則FG·AN=5， ∴FG=， ∴點F的橫坐標(biāo)為4-=， ∵M(jìn)（0，1），N（4，4）， ∴直線MN的解析式為y=x+1， ∵F點在直線MN上， ∴F點的縱坐標(biāo)為y=， ∴ F（）　　 ∵點F又在直線y=-m（x-4）上 ∴=-m（-4） ∴m=。