Question

在⊙O中，AB為⊙O的直徑，AC是弦，OC=4，∠OAC=60°。
（1）求∠AOC的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)P為直徑BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)CP與⊙O相切時(shí)，求PO 的長(zhǎng)；
（3）有一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，在⊙O上按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周（點(diǎn)M與點(diǎn)C不重合），當(dāng)S_△MAO= S_△CAO時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)。

Answer 1

解：（1）∵在△ACO中，∠OAC=60°，OC=OA
∴△ACO是等邊三角形
∴∠AOC=60°；
（2）∵CP與⊙O相切，OC是半徑，
∴CP⊥OC
∴∠P=90°-∠AOC=30°
∴PO=2CO=8；
（3）由等積三角形的判定方法知，需先確定M的運(yùn)動(dòng)位置，再求弧長(zhǎng)，
①當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C關(guān)于直徑AB的對(duì)稱點(diǎn)M₁時(shí)，
連結(jié)AM₁，OM₁，易得S_△M1AO= S_△CAO，∠AOM₁=60°，
∴弧AM₁=；
 ②當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C關(guān)于圓心O的對(duì)稱點(diǎn)M₂時(shí)，
連結(jié)AM₂，OM₂，易得S_△M2AO= S_△CAO，∠AOM₂=120°，
∴弧AM₂=； 
③當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C關(guān)于直徑AB的對(duì)稱點(diǎn)M₃時(shí)，
連結(jié)AM₃，OM₃，易得S_△M3AO= S_△CAO，∠BOM3=60°， 
∴弧AM₂M₃=，
所以，動(dòng)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為：，，。