Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)P在AB上，AP=2，點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，分別沿PA、PB以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A、B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，點(diǎn)E也隨之停止．在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側(cè)．設(shè)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t/秒（t＞0），正方形EFGH與△ABC重疊部分面積為S．
（1）當(dāng)t=1時(shí)，正方形EFGH的邊長是

 

．當(dāng)t=3時(shí)，正方形EFGH的邊長是

 

．
（2）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）直接答出：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，S最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)時(shí)t=1時(shí)，可得，EP=1，PF=1，EF=2即為正方形EFGH的邊長；當(dāng)t=3時(shí)，PE=1，PF=3，即EF=4；
（2）正方形EFGH與△ABC重疊部分的形狀，依次為正方形、五邊形和梯形；可分三段分別解答：①當(dāng)0＜t≤

6

11

時(shí)；②當(dāng)

6

11

＜t≤

6

5

時(shí)；③當(dāng)

6

5

＜t≤2時(shí)；依次求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)t的取值范圍分別進(jìn)行分析得出最值，即可得出面積最大值．

解答：解：（1）當(dāng)時(shí)t=1時(shí)，則PE=1，PF=1，
∴正方形EFGH的邊長是2；
當(dāng)t=3時(shí)，PE=1，PF=3，
∴正方形EFGH的邊長是4．
故答案為：2，4；

（2）
，
如圖1，EP=FP=t，HE=EF=2t，
如圖2，EP=FP=t，HE=EF=2t，
AE=AP-EP=2-t，
由

HE

AE

=

6

8

，即

2t

2-t

=

6

8

得t=

6

11

，
故S_重疊面積=S_正方形=（2t）²=4t²（0≤t≤

6

11

），
如圖4，AE=AP-EP=2-t，
LE=

3

4

AE=

3

4

(2-t)，
HL=HE-LE=2t-

3

4

（2-t），
HM=

4

3

HL=

4

3

[2t-

3

4

（2-t）]，
由HG=

4

3

HL，即2t=

4

3

[2t-

3

4

（2-t）]
解得：t=

6

5

，

如圖3，AE=AP-EP=2-t，
LE=

3

4

AE=

3

4

(2-t)，
HL=HE-LE=2t-

3

4

（2-t），
HM=

4

3

HL=

4

3

[2t-

3

4

（2-t）]，
S_重疊面積=S_正方形-S_△HLM=EF²-

1

2

HL×HM=-

25

24

t²+

11

2

t-

3

2

（

6

11

＜t≤

6

5

）；

如圖5，AE=AP-EP=2-t，LE=

3

4

AE=

3

4

（2-t），MF=

3

4

AF=

3

4

（2+t），
S_重疊面積=S_梯形LEFM=

1

2

（EL+MF）×EF=3t（

6

5

＜t≤2），

（3）由（2）知：當(dāng)0＜t≤

6

11

時(shí)，
S與t的函數(shù)關(guān)系式是S=2t×2t=4t²=

144

121

；
當(dāng)

6

11

＜t≤

6

5

時(shí)，
S與t的函數(shù)關(guān)系式是：
S=-

25

24

t²+

11

2

t-

3

2

=

18

5

；
當(dāng)

6

5

＜t≤2時(shí)；
S與t的函數(shù)關(guān)系式是：
S=3t=6；



當(dāng)t＞2時(shí)，觀察正方形與三角形的重疊面積隨t值變化情況，容易得到只有當(dāng)

10

3

≤t≤

22

3

時(shí)，S才有可能取到最大值．如圖7，圖8，圖9，圖10，圖11，圖12，
顯然，圖10，圖12是圖11的特殊情況，只要算出圖11的重疊面積關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，即可得出在圖11中，
由PA+AE=t，得AE=t-2，F(xiàn)B=AB-AE-EF=10-（t-2）-4=8-t，
由LE=

3

4

AE=

3

4

（t-2），HL=HE-LE=4-

3

4

（t-2），HM=

4

3

HL=

4

3

[4-

3

4

（t-2）]
得S_△HLM=

1

2

HL×HM=

1

2

[4-

3

4

（t-2）]×

4

3

[4-

3

4

（t-2）]
由FB=AB-AE-EF=10-（t-2）-4=8-t，則FK=

4

3

（8-t），GK=GF=4-

4

3

（8-t），
由NG=

3

4

GK=

3

4

[4-

4

3

（8-t）]，
則S_△NGK=

1

2

GK×NG=

1

2

[4-

4

3

（8-t）]×

3

4

[4-

4

3

（8-t）]，
S_重疊面積=16-S_△NCK-S_△HLM═-

25

24

t²+

73

6

t-

125

6

，
=-

25

24

（t-

146

25

）²+

1102

75

∴綜上所述，當(dāng)t=

146

25

時(shí)S有最大值，為

1102

75

．
由圖形知，在整個(gè)過程中，S取得最大值只會(huì)在圖11中產(chǎn)生，故當(dāng)t=

146

25

時(shí)S有最大值，為

1102

75

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了動(dòng)點(diǎn)函數(shù)問題，其中應(yīng)用到了相似形、正方形及勾股定理的性質(zhì)，鍛煉了學(xué)生運(yùn)用綜合知識(shí)解答題目的能力．