Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的邊OC、OA分別與x軸、y軸重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣18，0）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若直線DE交梯形對角線BO于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，且OE=4，OD=2BD，求直線DE的解析式；
（3）若點(diǎn)P是（2）中直線DE上的一個動點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以O(shè)、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）如答圖1，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于F， 在Rt△BCF中， ∵∠BCO=45°，BC=12， ∴CF=BF=12． ∵C 的坐標(biāo)為（﹣18，0）， ∴AB=OF=6， ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣6，12）； （2）如答圖1，過點(diǎn)D作DG⊥y軸于點(diǎn)G， ∵AB∥DG， ∴△ODG∽△OBA， ∵，AB=6，OA=12， ∴DG=4，OG=8， ∴D（﹣4，8），E（0，4）， 設(shè)直線DE的解析式為：y=kx+b（k≠0）， ∴，解得：， ∴直線DE的解析式為：y=﹣x+4； （3）結(jié)論：存在． 設(shè)直線y=﹣x+4分別與x軸、y軸交于點(diǎn)E、點(diǎn)F， 則E（0，4），F(xiàn)（4，0）， OE=OF=4，EF=4． 如答圖2所示，有四個菱形滿足題意． ①菱形OEP1Q1，此時OE為菱形一邊． 則有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EF﹣P1E= 4﹣4． 易知△P1NF為等腰直角三角形， ∴P1N=NF=P1F=4﹣2； 設(shè)P1Q1交x軸于點(diǎn)N， 則NQ1=P1Q1﹣P1N=4﹣（4﹣2）=2， 又ON=OF﹣NF= 2， ∴Q1（2，﹣2）； ②菱形OEP2Q2，此時OE為菱形一邊． 此時Q2與Q1關(guān)于原點(diǎn)對稱， ∴Q2（﹣2，2）； ③菱形OEQ3P3，此時OE為菱形一邊． 此時P3與點(diǎn)F重合，菱形OEQ3P3為正方形， ∴Q3（4，4）； ④菱形OP4EQ4，此時OE為菱形對角線． 由菱形性質(zhì)可知，P4Q4為OE的垂直平分線， 由OE=4，得P4縱坐標(biāo)為2， 代入直線解析式y(tǒng)=﹣x+4，得P4橫坐標(biāo)為2， 則P4（2，2）， 由菱形性質(zhì)可知，P4、Q4關(guān)于OE或x軸對稱， ∴Q4（﹣2，2）． 綜上所述，存在點(diǎn)Q，使以O(shè)、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形； 點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q1（2，﹣2）， Q2（﹣2，2）， Q3（4，4），Q4（﹣2，2）．

答圖1 答圖2