Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），直線l：y=-2x+4分別與x軸，y軸相交于B、C兩點(diǎn)．
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為

（2，0）

，點(diǎn)C的坐標(biāo)為

（0，4）

；
（2）在直線l上是否存在點(diǎn)P，使得△APO為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）若直線y=-2x+b上始終存在4個(gè)點(diǎn)P，使得△APO為直角三角形，求出b的取值范圍．（直接寫出答案，不需說明理由）

Answer 1

分析：（1）由直線l的解析式y(tǒng)=-2x+4，根據(jù)x軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，y軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)為0即可求出點(diǎn)B與點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）△APO為直角三角形時(shí)，分三種情況進(jìn)行討論：①如果∠AOP=90°，那么P與C重合，此時(shí)P₁（0，4）；②如果∠OAP=90°，那么P點(diǎn)橫坐標(biāo)與A點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，此時(shí)P₂（4，-4）；③如果∠OPA=90°，根據(jù)勾股定理得出OP²+PA²=OA²，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-2x+4），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列出方程x²+（-2x+4）²+（x-4）²+（-2x+4）²=4²，解方程求出此時(shí)P₃（2-

2

5

5

，

4

5

5

）、P₄（2+

2

5

5

，-

4

5

5

）；
（3）△APO為直角三角形時(shí)，分三種情況進(jìn)行討論：①如果∠AOP=90°，那么P₁（0，b）；②如果∠OAP=90°，那么P₂（4，b-8）；③如果∠OPA=90°，那么OP²+PA²=OA²，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-2x+b），則x²+（-2x+b）²+（x-4）²+（-2x+b）²=4²，根據(jù)直線y=-2x+b上始終存在4個(gè)點(diǎn)P，使得△APO為直角三角形，得出方程5x²+（-4b-4）x+b²=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則判別式△＞0，由此求出b的取值范圍．

解答：解：（1）∵y=-2x+4，
∴當(dāng)y=0時(shí)，x=2，∴B（2，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=4，∴C（0，4）；

（2）△APO為直角三角形時(shí)，分三種情況：
①如果∠AOP=90°，那么P與C重合，此時(shí)P₁（0，4）；
②如果∠OAP=90°，那么AP⊥OA，P點(diǎn)橫坐標(biāo)與A點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，為4，
當(dāng)x=4時(shí)，y=-4，此時(shí)P₂（4，-4）；
③如果∠OPA=90°，那么OP²+PA²=OA²，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-2x+4），則x²+（-2x+4）²+（x-4）²+（-2x+4）²=4²，
整理，得5x²-20x+16=0，
解得x₁=2-

2

5

5

，x₂=2+

2

5

5

，
此時(shí)P₃（2-

2

5

5

，

4

5

5

）、P₄（2+

2

5

5

，-

4

5

5

）．
綜上所述，在直線l上存在點(diǎn)P₁（0，4）、P₂（4，-4），P₃（2-

2

5

5

，

4

5

5

）、P₄（2+

2

5

5

，-

4

5

5

），能夠使得△APO為直角三角形；

（3）△APO為直角三角形時(shí)，分三種情況：
①如果∠AOP=90°，那么P₁（0，b）；
②如果∠OAP=90°，那么P₂（4，b-8）；
③如果∠OPA=90°，那么OP²+PA²=OA²，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-2x+b），則x²+（-2x+b）²+（x-4）²+（-2x+b）²=4²，
整理，得5x²+（-4b-4）x+b²=0，
∵直線y=-2x+b上始終存在4個(gè)點(diǎn)P，使得△APO為直角三角形，
∴方程5x²+（-4b-4）x+b²=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=（-4b-4）²-4×5b²=-4b²+32b+16＞0，
∴b²-8b-4＜0，
解得4-2

5

＜b＜4+2

5

．
故b的取值范圍是4-2

5

＜b＜4+2

5

．
故答案為（2，0），（0，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)綜合題，考查了函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，直角三角形的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，難度適中．利用分類討論、方程思想是解題的關(guān)鍵．