Question

3．先閱讀下列材料，然后解答問(wèn)題：
某同學(xué)在計(jì)算3（4+1）（4²+1）時(shí)，把3寫(xiě)成4-1后發(fā)現(xiàn)可以連續(xù)運(yùn)用平方差公式計(jì)算．即3（4+1）（4²+1）=（4-1）（4+1）（4²+1）=（4²-1）（4²+1）=16²-1．很受啟發(fā)，后來(lái)再求（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）
…（2²⁰⁴⁸+1）的值時(shí)，又改造此法，將乘積式前面乘以1，且把1寫(xiě)成（2-1）．即：（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）=（2²⁰⁴⁸-1）（2²⁰⁴⁸+1）=2⁴⁰⁹⁶-1
問(wèn)題：
（1）請(qǐng)借鑒該同學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，計(jì)算：$\frac{3}{2}$（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）+$\frac{1}{{2}^{15}}$；
（2）借用上述的方法，再逆用平方差公式計(jì)算：
（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{5}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）．（n為自然數(shù)，且n≥2）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知乘以2（1-$\frac{1}{2}$），再依次根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）先根據(jù)平方差公式分解因式，再進(jìn)行約分即可．

解答 解：（1）原式=2（1-$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）+$\frac{1}{{2}^{15}}$
=2（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）+$\frac{1}{{2}^{15}}$
=2（1-$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）+$\frac{1}{{2}^{15}}$
=2（1-$\frac{1}{{2}^{8}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）+$\frac{1}{{2}^{15}}$
=2（1-$\frac{1}{{2}^{16}}$）+$\frac{1}{{2}^{15}}$
=2-$\frac{1}{{2}^{15}}$+$\frac{1}{{2}^{15}}$
=2；

（2）（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{5}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）
=（1+$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{3}$）（1+$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{4}$）…（1+$\frac{1}{n}$）（1-$\frac{1}{n}$）
=$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{5}{4}$×$\frac{3}{4}$×…$\frac{n+1}{n}$×$\frac{n-1}{n}$
=$\frac{1}{2}$×$\frac{n+1}{n}$
=$\frac{n+1}{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平方差公式的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．