Question

10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上的一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．
（1）求證：CE=AD；
（2）當D在AB中點時．
①四邊形BECD是菱形；
②則當∠A等于45度時，四邊形BECD是正方形．

Answer 1

分析 （1）證出AC∥DE，得出四邊形ADEC是平行四邊形，即可得出結(jié)論；
（2）①先證出BD=CE，得出四邊形BECD是平行四邊形，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CD=$\frac{1}{2}$AB=BD，即可得出四邊形BECD是菱形；
②當∠A=45°時，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性質(zhì)得出CD⊥AB，即可得出四邊形BECD是正方形．

解答 （1）證明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四邊形ADEC是平行四邊形，
∴CE=AD；
（2）解：①四邊形BECD是菱形，理由如下：
∵D為AB中點，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四邊形BECD是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，D為AB中點，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=BD，
∴四邊形BECD是菱形；
故答案為：菱；
②當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形；理由如下：
∵∠ACB=90°，
當∠A=45°時，△ABC是等腰直角三角形，
∵D為AB的中點，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴四邊形BECD是正方形；
故答案為：45．

點評 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、正方形的判定、菱形的判定、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，并能進行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．