Question

（12分）如圖，在⊙O中，AD∥BC，AC⊥BD垂足為E．

（1）求證：BE=CE；

（2）若AD=4，M為AD的中點(diǎn)，延長ME交BC于F，

①判斷EF與BC的位置關(guān)系；

②求OF的長度．

 

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）①EF垂直平分BC；②2．

【解析】

試題分析：（1）由平行線的性質(zhì)和同弧所對的圓周角相等，得到∠CBE=∠ECB，從而BE=CE；

（2）①先證明△AED是等腰三角形，由三線合一，得到EM⊥AD，再由AD∥BC，可得到EF⊥BC，再證明BE=EC，即可得到結(jié)論；

②證明△BOF≌△OAM，即可得到OF=AM=2

試題解析：（1）∵，∴∠CBE=∠CAD，∵AD∥BC，∴∠CAD=∠ECB，∴∠CBE=∠ECB，∴BE=CE；

（2）①EF垂直平分BC；理由：∵AD∥BC∴∠CBE=∠ADE∵∠CBE=∠CAD，∴∠ADE=∠CAD∴AE=DE，∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)∴EM⊥AD，∴∠AME=90°，∵AD∥BC∴∠EFC=∠AMD=90°∴EF⊥BC∵BE=CE∴BF=FC ∴EF垂直平分BC；

②連接BO，AO．∵OB=OC∴O在BC的垂直平分線上，∴O在EF上；∵AC⊥BD∴∠BEC=90°，∵BE=CE∴∠EBC=∠ECB=45°，∴∠BOA=90°，∵M(jìn)F⊥BC，∴∠MFC=90°，∵AD∥BC，∴∠AME=90°，可證得：△BOF≌△OAM，得OF=AM=2．

 

考點(diǎn)：圓的綜合題．