Question

如圖，在正方形ABCD中，點P是BC邊上一點（不與點B，C重合），連接PA，將線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，PE交邊DC于點F，連接CE，AF．
（1）求證：△ABP∽△PCF；
（2）當(dāng)的值等于多少時，△APF∽△PCF？請說明理由；
（3）當(dāng)CP=CE時，求cot∠EPC的值．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠PCD=90°，
∴∠PAB+∠APB=90°．
∵∠APE=90°，
∴∠EPC+∠APB=90°．
∴∠PAB=∠EPC．
∴△ABP∽△PCF．
（2）
當(dāng)=時，△APF∽△PCF．理由如下：
∵∠PAB=∠EPC，
∴tan∠PAB=tan∠EPC，即==．
設(shè)正方形ABCD邊長為1，則AB=BC=1，PB=PC=，F(xiàn)C=．
在Rt△ABP中，AP=．
在Rt△PCF中，F(xiàn)P=．
∴==，
∵∠APF=∠PCF=90°，
∴△APF∽△PCF．
（3）過點E作EG⊥BC交BC的延長線于點G（如圖），則∠EGP=∠B=90°．
∵∠PAB=∠EPC，PA=PE．
∴△PAB≌△EPG
∴EG=PB，AB=BC=PG，
∴PB=EG=CG，
∴∠ECG=45°．
設(shè)EG=CG=x．則CP=CE=x，PG=x+x．
在Rt△EPG中，cot∠EPC===1+．
分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和已知條件證明∠PAB=∠EPC，即可證明：△ABP∽△PCF；
（2）當(dāng)=，△APF∽△PCF，設(shè)正方形ABCD邊長為1，則AB=BC=1，PB=PC=，F(xiàn)C=，根據(jù)勾股定理計算AP，EP的值，即可得到，△APF∽△PCF；
（3）過點E作EG⊥BC交BC的延長線于點G（如圖），則∠EGP=∠B=90°，設(shè)EG=CG=x．則CP=CE=x，PG=x+x．在Rt△EPG中，即可求出cot∠EPC的值．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運用、全等三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性很強，難度很大，對學(xué)生的解題能力要求很高．