Question

18．在正方形ABCD中，AB=6，對角線交于點O，點 P在線段AC上，且OP=$\sqrt{2}$，將射線PB繞點P逆時針轉45°，交BC于點F，則PF的長為$\frac{4\sqrt{10}}{3}$或$\frac{2\sqrt{10}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質得到AC=6$\sqrt{2}$，AC⊥BD，求得AO=BO=$\frac{1}{2}$AC=3$\sqrt{2}$，CP=4$\sqrt{2}$，根據(jù)勾股定理得到PB=$\sqrt{O{P}^{2}+O{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，根據(jù)相似三角形的性質即可得到結論．

解答 解：如圖1，在正方形ABCD中，AB=6，
∴AC=6$\sqrt{2}$，AC⊥BD，
∴AO=BO=$\frac{1}{2}$AC=3$\sqrt{2}$，
∵OP=$\sqrt{2}$，
∴CP=4$\sqrt{2}$，
在Rt△BPO中，PB=$\sqrt{O{P}^{2}+O{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠BPF=∠BAP=∠PCF=45°，
∴∠APB=∠PFC=135°-∠FPC，
∴△APB∽△CFP，
∴$\frac{AB}{PC}=\frac{PB}{PF}$，即$\frac{6}{4\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{PF}$，
∴PF=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$，
如圖2，在正方形ABCD中，AB=6，
∴AC=6$\sqrt{2}$，AC⊥BD，
∴AO=BO=$\frac{1}{2}$AC=3$\sqrt{2}$，
∵OP=$\sqrt{2}$，
∴CP=2$\sqrt{2}$，
在Rt△BPO中，PB=$\sqrt{O{P}^{2}+O{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠BPF=∠BAP=∠PCF=45°，
∴∠APB=∠PFC=135°-∠FPC，
∴△APB∽△CFP，
∴$\frac{AB}{PC}=\frac{PB}{PF}$，即$\frac{6}{2\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{PF}$，
∴PF=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
綜上所述：PF的長為$\frac{4\sqrt{10}}{3}$或$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
故答案為：$\frac{4\sqrt{10}}{3}$或$\frac{2\sqrt{10}}{3}$．

點評 本題考查了旋轉的性質，正方形性質，相似三角形的判定和性質，正確是作出圖形是解題的關鍵．