Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)Ａ坐標(biāo)為（2，4），直線x＝２與x軸相交于點(diǎn)B，連結(jié)OA，拋物線y=x²從點(diǎn)O沿OA方向平移，與直線x=2交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)M到A點(diǎn)時(shí)停止移動(dòng)．

1.求線段OA所在直線的函數(shù)解析式

2.設(shè)拋物線頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,

  ①用m的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；

  ②當(dāng)m為何值時(shí)，線段PB最短；

3.當(dāng)線段PB最短時(shí)，相應(yīng)的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△QMA的面積與△PMA的面積相等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

1.設(shè)所在直線的函數(shù)解析式為，

∵（2，4），

∴, ,

∴所在直線的函數(shù)解析式為.------------------2分

2.①∵頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，且在線段上移動(dòng)，

 ∴（0≤≤2）.                                     

∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(,).

∴拋物線函數(shù)解析式為.

∴當(dāng)時(shí)，（0≤≤2）.

∴點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，）  -------------------------------4分

②  ∵==， 又∵0≤≤2，

∴當(dāng)時(shí)，PB最短.   -------------------------------6分

3.當(dāng)線段最短時(shí)，此時(shí)拋物線的解析式為.

假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)，使.

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）.

①當(dāng)點(diǎn)落在直線的下方時(shí)，過(guò)作直線//，交軸于點(diǎn)，

∵，，

∴，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，）. -------------------------------7分

∵點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，3），∴直線的函數(shù)解析式為.

∵，∴點(diǎn)落在直線上.∴=.

解得，即點(diǎn)（2，3）.∴點(diǎn)與點(diǎn)重合. -------------------------------8分

∴此時(shí)拋物線上不存在點(diǎn)，使△與△的面積相等.

②當(dāng)點(diǎn)落在直線的上方時(shí)，

作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)稱(chēng)點(diǎn)，過(guò)作直線//，交軸于點(diǎn)，

∵，∴，∴、的坐標(biāo)分別是（0，1），（2，5），

∴直線函數(shù)解析式為.-------------------------------9分

∵，∴點(diǎn)落在直線上.

∴=.-------------------------------10分

解得：，.

代入，得，.

∴此時(shí)拋物線上存在點(diǎn)，--------------------11分

使△與△的面積相等. 

綜上所述，拋物線上存在點(diǎn)，

 使△與△的面積相等.  -------------------------------12分

【解析】（1）由于直線OA是正比例函數(shù)，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可確定該直線的解析式．

（2）①根據(jù)直線OA的解析式，可用m表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出平移后的拋物線解析式，然后將x=2代入平移后的拋物線解析式中，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②點(diǎn)P的縱坐標(biāo)即可為線段PB的長(zhǎng)，可利用配方法求得PB的最小值及對(duì)應(yīng)的m的值

（3）若△QMA的面積與△PMA的面積相等，則P、Q到直線OA的距離相等，此題分兩種情況討論：

①過(guò)P作平行于OA的直線，易求得此平行線的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

A點(diǎn)的上方截取AD=PA，同①過(guò)D作直線OA的平行線，先求出此平行線的解析式，然后聯(lián)立拋物線的解析式求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．