Question

如圖，△ABC中，AB=BC=5，AC=3．D為AB上的點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A、B不重合），作DE∥BC交AC于點(diǎn)E．
（1）若CE=x，BD=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的范圍；
（2）若G為BC邊上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形DECG為菱形時(shí)，求BG的長(zhǎng)；
（3）BC邊上是否存在點(diǎn)F，使△FDE∽△BAC？若存在，請(qǐng)求出線段BF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，由相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等即可的到x和y的函數(shù)關(guān)系式，在由已知條件寫(xiě)出自變量x的范圍即可；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)四邊相等，可設(shè)BG=a，則CG=DG=5-a，又因?yàn)镈G∥AC，所以△BGD∽△BCA，利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于a的比例式，求出a即可；
（3）假設(shè)BC邊上存在點(diǎn)F，使△FDE∽△BAC當(dāng)，由相似三角形的性質(zhì)和已知條件可證明四邊形DFCE為平行四邊形，進(jìn)而證明△BDF∽△BAC，設(shè)DE=3k，則DF=EF=EC=5k，F(xiàn)C=3k，由比例式即可求出k的值，若k＜5即可存在，否則不存在．

解答：解：（1）∵DE∥BC交AC于點(diǎn)E，
∴△ADE∽△ABC，
∴

AD

AB

=

AE

AC

，
∵CE=x，BD=y，
∴AE=AC-CE=3-x，AD=AB-BD=5-y，
∴

5-y

5

=

3-x

3

，
∴y=

5

3

x（0＜x＜3）；

（2）∵四邊形DECG為菱形，
∴DG∥AC，DE=DG=CG=CE，
∴△BGD∽△BCA，
∴

DG

AC

=

BG

BC

，
設(shè)BG=a，則CG=5-a，
∴DG=CG=5-a，
∴

5-a

3

=

a

5

，
∴a=

25

8

，
∴BG=

25

8

；

（3）BC邊上存在點(diǎn)F，使△FDE∽△BAC，
∵△FDE∽△BAC，
∴∠DFE=∠ABC，∠FDE=∠BAC，∠DEF=∠ACB，
又∵DE∥BC，
∴∠DEF=∠EFC，
∴∠DFE=∠FEC，
∴DF∥AC，
∴四邊形DFCE為平行四邊形，
∴△BDF∽△BAC，
設(shè)DE=3k，則DF=EF=EC=5k，F(xiàn)C=3k
∴

DF

AC

=

BF

BC

，
∴

5k

3

=

5-3k

5

，
∴k=

15

34

＜6，
∴BF=5-

15

34

=

155

34

∴當(dāng)BF=

155

34

時(shí)，△FDE∽△BAC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，題目的綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)建立方程，運(yùn)用方程的思想解幾何問(wèn)題．