Question

如圖，直線y=x+b（b＜0）交坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn)，交雙曲線于點(diǎn)D，過D作兩坐標(biāo)軸的垂線DC、DE，連接OD．
（1）求證：DA平分∠CDE．
（2）是否存在直線AB．使得四邊形OBCD為平行四邊形？若存在，求出直線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）當(dāng)△AOD的面積為3時(shí)，求直線AB的解析式．

Answer 1

（1）證明：∵直線y=x+b（b＜0）交坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn)
∴A（-b，0），B（0，b），
∴∠OAB=45°，
又∵過D作兩坐標(biāo)軸的垂線DC、DE，
∴∠EDC=90°，DC∥BE，
∴∠CDA=∠OAB=45°，
∴∠CDA=∠EDA=45°，
即：DA平分∠CDE；

（2）解：存在直線AB．使得四邊形OBCD為平行四邊形
∵點(diǎn)B在y軸上，O為原點(diǎn)，DC⊥x軸
∴OB∥DC
要使得四邊形OBCD為平行四邊形，使OB=DC即可，即|b|=x+b（b＜0）得x=-2b
又∵直線y=x+b（b＜0）交雙曲線于點(diǎn)D，
∴得b=-2
∵b=-2時(shí)OB∥DC且OB=DC
∴由平行線的判定定理可得四邊形OBCD為平行四邊形
∴此時(shí)直線的解析式為：y=x-2；

（3）解：△AOD的面積S=×DC×OA=×（x+b）×|b|=3（b＜0），
得x=--b，代入直線AB和雙曲線可得
，得b=-3
∴此時(shí)直線AB的解析式為：y=x-3．
分析：①欲證明DA平分∠CDE，則是∠EDA=∠ADC=45°即可；
②使得四邊形OBCD為平行四邊形只需證明OB∥DC且OB=DC即可；
③S_AOD=DC×OA．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了反比例函數(shù)，一次函數(shù)以及平行線判定定理．解答此題時(shí)要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想．