Question

如圖，正方形ABCD的邊長為a，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=45°，求△CEF的周長．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：先根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=AD，∠BAD=∠B=90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義，把△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得到△ABG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AG=AF，BG=DF，∠GAF=90°，∠ABG=∠B=90°，于是可判斷點(diǎn)G在CB的延長線上，接著利用“SAS”證明在△EAG≌△EAF，得到EG=EF=BE+DF，然后利用三角形周長的定義得到△CEF的周長=CE+CF+BE+DF=CB+CD=2a．

解答：解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠B=90°，
∴把△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得到△ABG，如圖，
∴AG=AF，BG=DF，∠GAF=90°，∠ABG=∠B=90°，
∴點(diǎn)G在CB的延長線上，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAG=∠GAF-∠EAF=45°，
∴∠EAG=∠EAF，
在△EAG和△EAF中，

AE=AE ∠EAG=∠EAF AG=AF

，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴EG=EF，
而EG=BE+BG=BE+DF，
∴EF=BE+DF，
∴△CEF的周長=CE+CF+BE+DF=CB+CD=a+a=2a．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．