Question

如圖，在直角坐標系xOy中，反比例函數(shù)y=

m

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過點A，B，過點A作x軸的垂線，垂足為點C（1，0）
（1）若△AOC的面積是2，則m的值為

 

；若OB=OA，則點B的坐標是

 

；
（2）在（1）的條件下，AB所在直線分別交x軸，y軸于點M，N，點P在x軸上，PE⊥AB于點E，EF⊥y軸于點F．
①若點P是線段OM上不與O，M重合的任意一點，PM=a，當a為何值時，PM=PF？
②若點P是射線OM上的一點，設(shè)P點的橫坐標為x，由P，M，E，F(xiàn)四個點組成的四邊形的面積面積為y，試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)點C的坐標求出OC的長，再根據(jù)三角形的面積求出AC的長度，然后寫出點A的坐標，再代入反比例函數(shù)解析式計算即可求出m的值，設(shè)點B的橫坐標為x，表示出縱坐標，再利用勾股定理列式表示出OA、OB，然后列出方程求解即可；
（2）①利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再求出點M的坐標，并得到∠OMN=45°，然后求出△PME是等腰直角三角形，過點E作EG⊥x軸于G，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出PG、EG，再求出OF、OP，然后利用勾股定理列式求出PF，根據(jù)PM=PF列出方程求解即可得到a的值；
②分點P在點M的左邊和右邊兩種情況，根據(jù)點P的橫坐標表示出PM，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出EF和點E的縱坐標，然后利用梯形的面積公式列式計算即可得解．

解答：解：（1）∵點C（1，0），
∴OC=1，
∴△AOC的面積=

1

2

×1×AC=2，
解得AC=4，
∴點C的坐標為（1，4），
∵反比例函數(shù)y=

m

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過點A，
∴

m

1

=4，
解得m=4，
設(shè)點B的橫坐標為x，則點B的縱坐標為

4

x

，
∵OB=OA，
∴

12+42

=

x2+( 4 x )2

，
兩邊平方并整理得，x⁴-17x²+16=0，
解得x₁=1（為點A），x₂=4，
∴點B的坐標為（4，1）；
故答案為：4，（4，1）；

（2）①設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

k+b=4 4k+b=1

，
解得

k=-1 b=5

，
∴直線AB的解析式為y=-x+5，
∴∠OMN=45°，
令y=0，則-x+5=0，
解得x=5，
∴點M的坐標為（5，0），
∵PE⊥AB，
∴△PME是等腰直角三角形，
過點E作EG⊥x軸于G，
∵PM=a，
∴PG=EG=

1

2

a，
∵EF⊥y軸，
∴OF=

1

2

a，OP=5-a，
由勾股定理得，PF=

OF2+OP2

=

( 1 2 a)2+(5-a)2

，
∵PM=PF，
∴

( 1 2 a)2+(5-a)2

=a，
整理得，a²-40a+100=0，
解得a₁=20-10

3

，a₂=20+10

3

（舍去）；
故，a=20-10

3

時，PM=PF；

②如圖1，若點P在點M的左邊，∵P點的橫坐標為x，
∴PM=5-x，
∴MG=EG=

1

2

PM=

1

2

（5-x），
∴EF=OG=OM-MG=5-

1

2

（5-x）=

1

2

x+

5

2

，
y=

1

2

（5-x+

1

2

x+

5

2

）×

1

2

（5-x），
=

1

8

x²-

5

2

x+

75

8

，
即y=

1

8

x²-

5

2

x+

75

8

（0＜x＜5），
如圖2，若點P在點M的右邊時，∵P點的橫坐標為x，
∴PM=x-5，
∴MG=EG=

1

2

PM=

1

2

（x-5），
∴EF=OG=OM+MG=5+

1

2

（x-5）=

1

2

x+

5

2

，
y=

1

2

（x-5+

1

2

x+

5

2

）×

1

2

（x-5），
=

3

8

x²-

5

2

x+

25

8

，
即y=

3

8

x²-

5

2

x+

25

8

（x＞5）．

點評：本題是反比例函數(shù)綜合題型，主要利用了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積，勾股定理，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，待定系數(shù)法一次求函數(shù)解析式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，梯形的面積公式，難點在于（2）②要分情況討論．