Question

如圖，直線y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=ax²+x+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，點(diǎn)E是直線BC上方拋物線上的一動點(diǎn)，當(dāng)△BEC面積最大時(shí)，請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和△BEC面積的最大值？

（3）在（2）的結(jié)論下，過點(diǎn)E作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)M，連接AM，點(diǎn)Q是拋物線對稱軸上的動點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

       解：（1）∵直線y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，0），

∵拋物線y=ax²+x+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，

∴

解得

∴y=﹣x²+x+3．

（2）如圖1，過點(diǎn)E作y軸的平行線EF交直線BC于點(diǎn)M，EF交x軸于點(diǎn)F，，

∵點(diǎn)E是直線BC上方拋物線上的一動點(diǎn)，

∴設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（x，﹣x²+x+3），

則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x，﹣x+3），

∴EM=﹣x²+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x²+x，

∴S_△ABC=S_△BEM+S_△MEC

=

=×（﹣x²+x）×4

=﹣x²+3x

=﹣（x﹣2）²+3，

∴當(dāng)x=2時(shí)，即點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2，3）時(shí)，△BEC的面積最大，最大面積是3．

（3）在拋物線上存在點(diǎn)P，使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

①如圖2，，

由（2），可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是2，

∵點(diǎn)M在直線y=﹣x+3上，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，），

又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣2，0），

∴AM==，

∴AM所在的直線的斜率是：；

∵y=﹣x²+x+3的對稱軸是x=1，

∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（1，m），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，﹣x²+x+3），

則

解得或，

∵x＜0，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣3，﹣）．

②如圖3，，

由（2），可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是2，

∵點(diǎn)M在直線y=﹣x+3上，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，），

又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣2，0），

∴AM==，

∴AM所在的直線的斜率是：；

∵y=﹣x²+x+3的對稱軸是x=1，

∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（1，m），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，﹣x²+x+3），

則

解得或，

∵x＞0，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（5，﹣）．

③如圖4，，

由（2），可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是2，

∵點(diǎn)M在直線y=﹣x+3上，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，），

又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣2，0），

∴AM==，

∵y=﹣x²+x+3的對稱軸是x=1，

∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（1，m），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，﹣x²+x+3），

則

解得，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣1，）．

綜上，可得

在拋物線上存在點(diǎn)P，使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣3，﹣）、（5，﹣）、（﹣1，）．