Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c的頂點為P，對稱軸直線x=1與x軸交于點D，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中A（-1，0）、C（0，3）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）點E在線段BC上，若△DEB為等腰三角形，求點E的坐標(biāo)；
（3）點F、Q都在該拋物線上，若點C與點F關(guān)于直線x=1成軸對稱，連結(jié)BF、BQ，如果∠FBQ=45°，求點Q的坐標(biāo)；
（4）將△BOC繞著它的頂點B順時針在第一象限內(nèi)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的圖形為△BO′C′，BO′與BP重合時，則△BO′C′不在BP上的頂點C′的坐標(biāo)為

（3+

3 5

5

，

9 5

5

）

（直接寫出答案）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線對稱軸和點A、C的坐標(biāo)，列出關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，然后求解即可；
（2）求出點B的坐標(biāo)，然后求出OB=OC=3，從而得到∠OBC=∠OCB=45°，對稱軸與BC的交點即為所求的點E，BD的垂直平分線與BC的交點也是點E的位置，然后分別求出點E的坐標(biāo)即可；
（3）設(shè)BQ與FC的延長線相交于點H，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠FCB=∠OBC=45°，從而得到∠FCB=∠FBQ，根據(jù)兩組角對應(yīng)相等，兩三角形相似求出△BFH和△CFB相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出FH，再求出CH的長，得到點H的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出BH的解析式，與拋物線聯(lián)立求解即可得到點Q的坐標(biāo)；
（4）求出頂點P的坐標(biāo)，根據(jù)點P、C的坐標(biāo)求出PC與y軸的夾角為45°，從而得到∠PCB=90°，利用勾股定理列式求出PC、BC、PB，過點B作x軸的垂線BG，過點C′作C′G⊥BG交點為G，再求出∠C′BG=∠PBC，根據(jù)兩組角對應(yīng)相等，兩三角形相似求出△PBC和△C′BG相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出BG、C′G，然后寫出點C′的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、C（0，3），對稱軸為直線x=1，
∴

a-b+c=0 c=3 - b 2a =1

，
解得

a=-1 b=2 c=3

，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）∵點A（-1，0），對稱軸為直線x=1，
∴點B的坐標(biāo)為（3，0），
又∵C（0，3），
∴OB=OC=3，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴當(dāng)點E為對稱軸與BC的交點，BD的垂直平分線與BC的交點時，都能使△DEB是等腰三角形，
易求直線BC的解析式為y=-x+3，
E為對稱軸與BC的交點時，x=1，y=-1+3=2，
E為BD的垂直平分線與BC的交點時，x=2，y=-2+3=1，
∴點E的坐標(biāo)為（1，2）或（2，1）時，△DEB是等腰三角形；

（3）如圖，設(shè)BQ與FC的延長線相交于點H，
∵點C與點F關(guān)于直線x=1成軸對稱，
∴F（2，3），CF∥x軸，
∴CF=2，∠FCB=∠OBC=45°，
∵∠FBQ=45°，
∴∠FCB=∠FBQ，
又∵∠F=∠F，
∴△BFH∽△CFB，
∴

FB

CF

=

FH

FB

，
由勾股定理得，F(xiàn)B=

(2-3)2+(3-0)2

=

10

，
∴

10

2

=

FH

10

，
解得FH=5，
∴CH=FH-CF=5-2=3，
∴點H的坐標(biāo)為（-3，3），
設(shè)直線BH的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

3k+b=0 -3k+b=3

，
解得

k=- 1 2 b= 3 2

，
∴直線BH的解析式為y=-

1

2

x+

3

2

，
聯(lián)立

y=-x2+2x+3 y=- 1 2 x+ 3 2

，
解得

x1=3 y1=0

（為點B坐標(biāo)，舍去），

x2=- 1 2 y2= 7 4

，
∴點Q的坐標(biāo)為（-

1

2

，

7

4

）；

（4）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點P（1，4），
∵點C（0，3），
∴PC與y軸的夾角為45°，
∴∠PCB=180°-45°-45°=90°，
由勾股定理得，PC=

(1-0)2+(4-3)2

=

2

，
BC=

32+32

=3

2

，
PB=

(3-1)2+(0-4)2

=2

5

，
∵△BOC繞點B旋轉(zhuǎn)后為△BO′C′，
∴C′B=BC=3

2

，∠C′BO′=∠OBC=45°，
如圖，過點B作x軸的垂線BG，過點C′作C′G⊥BG交點為G，
∵∠C′BG+∠GBP=∠C′BO′=45°，
∠PBC+∠GBP=∠CBG=90°-∠OBC=90°-45°=45°，
∴∠C′BG=∠PBC，
又∵∠PCB=∠C′GB=90°，
∴△PBC∽△C′BG，
∴

C′G

PC

=

BG

BC

=

C′B

PB

，
即

C′G

2

=

BG

3 2

=

3 2

2 5

，
解得BG=

9 5

5

，C′G=

3 5

5

，
又∵OB=3，
∴點C′的坐標(biāo)為（3+

3 5

5

，

9 5

5

）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點坐標(biāo)，勾股定理，（2）難點在于要分情況討論確定出點E的位置，（3）作輔助線構(gòu)造出相似三角形是解題的關(guān)鍵，（4）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及點的坐標(biāo)特征，作輔助線構(gòu)造并確定出與△PBC相似的三角形是解題的關(guān)鍵，也是最大的難點．