Question

如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D是AB延長線上的一點(diǎn)，AE⊥CD交DC的延長線于E，CF⊥AB于F，且CE=CF．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若AB=6，BD=3，求AE和BC的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）如圖，連接OC．  

  

∵AE⊥CD，CF⊥AB，CE=CF，

∴∠1＝∠2．                      

∵OA=OC，

∴∠2＝∠3．  

∴∠1＝∠3．

∴OC∥AE．

∴OC⊥CD．

∴DE是⊙O的切線．

（2）∵AB=6，

∴OB=OC=AB=3．

在Rt△OCD中，OC=3，OD=OB+BD=6，

∴∠D＝30°，∠COD＝60°．

在Rt△ADE中，AD=AB+BD=9，

∴AE＝AD=．

在△OBC中，∵∠COD＝60°，OB=OC，∴△OBC是等邊三角形．

∴BC=OB=3．

【解析】（1）要證DE是⊙O的切線，只要連接OC，再證∠DCO=90°即可．

（2）先根據(jù)直徑求出半徑，再根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果。