Question

如圖，正方形ABCD的邊長是2，邊BC在x軸上，邊AB在y軸上，將一把三角尺如圖放置（圖1），其中M為AD的中點，逆時針旋轉三角尺．
（1）當三角尺的一邊經過C點時，此時三角尺的另一邊和AB邊交于點E₁（如圖2），求此時直線PM的解析式；
（2）繼續(xù)旋轉三角尺，三角尺的一邊與x軸交于點G，三角尺的另一邊與AB交于E₂（如圖3），PM的延長線與CD的延長線交于點F，若三角形GE₂F的面積為4，求此時直線PM的解析式；
（3）當旋轉到三角尺的一邊經過點B，另一直角邊的延長線與x軸交于點G（如圖4），求此時三角形GOF的面積．

Answer 1

解：（1）過點M作MH⊥x軸于點H，設PM交x軸于點G．
∴∠MHG=90°，MH=CD
∵四邊形ABCD是正方形
∴∠D=90°，AD=CD=2
∴∠MHG=∠D
∵M是AD得中點
∴MD=AD=1，M（1，2）
由旋轉可知∠AMG=∠HMC
∵∠HMC=∠MCD
∵∠AMG=∠MGC
∴∠MGC=∠MCD
∴△GHM∽△CDM
∴
∴
∴GH=4
∴GB=3
∴G（-3，0）
設直線PM的解析式為：y=kx+b，由題意得
解得：

∴直線PM的解析式為：

（2）作FQ⊥AB于Q，RG⊥BG于G交AD的延長線于點R．
∴QF=GR，∠FQA=∠R=90°
∵∠PMN=90°
∴∠AE₂M=∠RMG
∴△FQE₂≌△GRM
∴E₂F=MG
∵S_△FE2G=4
∴E₂F•MG=4
∴E₂F=2，
∵△AE₂M≌△DFM
∴E₂M=FM
∴E₂M=，∵AM=1，由勾股定理得：
AE₂=1
∴E₂（0，1）
設PM的解析式為：y=kx+b由題意得：
解得：
∴直線的解析式為y=x+1

（3）過點F作FH⊥AO于H，GT⊥OC于G，交AD的延長線于點T
∴△FHO≌△GTM
∴FO=GM
∵AM=1，AO=2，由勾股定理得：
OM=
∵△AMO≌△DMF
∴MF=OM
∴OF=2
∴GM=2
∴S_△GOF==10
∴三角形GOF的面積為10
分析：（1）通過作輔助線利用三角形相似求出PM于x軸的交點G的坐標，M的坐標容易求出，然后根據待定系數法求出直線的解析式．
（2）通過作輔助線利用證明三角形全等得到E2F=GM，利用三角形的面積等于4求出GM的值，再根據勾股定理求出AE2的長后確定E2的坐標，最后根據待定系數法求直線的解析式．
（3）通過作輔助線利用證明三角形全等得到OF=GM，利用勾股定理OM的值，利用三角形全等求出OF的值，從而求出三角形的底與高，從而求解．
點評：本題是一道一次函數的綜合試題，考查了全等三角形的運用、相似三角形的運用，勾股定理的運用，運用待定系數法求函數的解析式、以及三角形面積公式的運用，本題難度較大，對學生的綜合理解能力要求較高．