Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=﹣x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，并與x軸交于另一點(diǎn)C（點(diǎn)C點(diǎn)A的右側(cè)），點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P在第二象限內(nèi)，過點(diǎn)P作PD⊥軸于D，交AB于點(diǎn)E．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段PE最長(zhǎng)？此時(shí)PE等于多少？
（3）如果平行于x軸的動(dòng)直線l與拋物線交于點(diǎn)Q，與直線AB交于點(diǎn)N，點(diǎn)M為OA的中點(diǎn)，那么是否存在這樣的直線l，使得△MON是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)， ∴A（﹣4，0），B（0，4）， ∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)， ∴，解得， ∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣3x+4． 令y=0，得﹣x2﹣3x+4=0，解得x1=﹣4，x2=1， ∴C（1，0）； （2）如答圖1所示，設(shè)D（t，0）． ∵OA=OB， ∴∠BAO=45°， ∴E（t，t），P（t，﹣t2﹣3t+4）． PE=yP﹣yE=﹣t2﹣3t+4﹣t=﹣t2﹣4t=﹣（t+2）2+4， ∴當(dāng)t=﹣2時(shí)，線段PE的長(zhǎng)度有最大值4，此時(shí)P（﹣2，6）； （3）存在．如答圖2所示，過N點(diǎn)作NH⊥x軸于點(diǎn)H． 設(shè)OH=m（m>0）， ∵OA=OB， ∴∠BAO=45°， ∴NH=AH=4﹣m， ∴yQ=4﹣m．又M為OA中點(diǎn)， ∴MH=2﹣m．△MON為等腰三角形： ①若MN=ON，則H為底邊OM的中點(diǎn)， ∴m=1， ∴yQ=4﹣m=3． 由﹣xQ2﹣3xQ+4=3，解得：xQ=， ∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（，3）或（，3）； ②若MN=OM=2，則在Rt△MNH中， 根據(jù)勾股定理得：MN2=NH2+MH2， 即22=（4﹣m）2+（2﹣m）2， 化簡(jiǎn)得：m2﹣6m+8=0， 解得：m1=2，m2=4（不合題意，舍去）， ∴yQ=2，由﹣xQ2﹣3xQ+4=2，解得：xQ=， ∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（，2）或（，2）； ③若ON=OM=2，則在Rt△NOH中， 根據(jù)勾股定理得：ON2=NH2+OH2， 即22=（4﹣m）2+m2， 化簡(jiǎn)得：m2﹣4m+6=0， ∵△=﹣8<0， ∴此時(shí)不存在這樣的直線l，使得△MON為等腰三角形． 綜上所述，存在這樣的直線l，使得△MON為等腰三角形． 所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：（，3）或（，3）或 （，2）或（，2）．