Question

    如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù) (為常數(shù))的圖象與x軸交于點(diǎn)A(，0)，與y軸交于點(diǎn)C．以直線x=1為對(duì)稱軸的拋物線  ( 為常數(shù)，且≠0)經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，并與x軸的正半軸交于點(diǎn)B．

   （1）求的值及拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

   （2）設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作直線AC的平行線交x軸于點(diǎn)F．是否存在這樣的點(diǎn)E，使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)及相應(yīng)的平行四邊形的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由；

  （3）若P是拋物線對(duì)稱軸上使△ACP的周長(zhǎng)取得最小值的點(diǎn)，過點(diǎn)P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于 ，兩點(diǎn)，試探究 是否為定值，并寫出探究過程．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。

解答：解：（1）∵經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，0），

∴0=+m，解得m=，

∴直線解析式為，C（0，）．

∵拋物線y=ax²+bx+c對(duì)稱軸為x=1，且與x軸交于A（﹣3，0），∴另一交點(diǎn)為B（5，0），

設(shè)拋物線解析式為y=a（x+3）（x﹣5），

∵拋物線經(jīng)過C（0，），

∴=a•3（﹣5），解得a=，

∴拋物線解析式為y=x²+x+；

（2）假設(shè)存在點(diǎn)E使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

則AC∥EF且AC=EF．如答圖1，

（i）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)E位置時(shí)，過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，

∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG，

又∵，∴△CAO≌△EFG，

∴EG=CO=，即y_E=，

∴=x_E²+x_E+，解得x_E=2（x_E=0與C點(diǎn)重合，舍去），

∴E（2，），S_▱ACEF=；

（ii）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)E′位置時(shí)，過點(diǎn)E′作E′G′⊥x軸于點(diǎn)G′，

同理可求得E′（+1，），S_{▱ACE′F′}=．

（3）要使△ACP的周長(zhǎng)最小，只需AP+CP最小即可．

如答圖2，連接BC交x=1于P點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)A、B關(guān)于x=1對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短，可知此時(shí)AP+CP最�。ˋP+CP最小值為線段BC的長(zhǎng)度）．

∵B（5，0），C（0，），∴直線BC解析式為y=x+，

∵x_P=1，∴y_P=3，即P（1，3）．

令經(jīng)過點(diǎn)P（1，3）的直線為y=kx+3﹣k，

∵y=kx+3﹣k，y=x²+x+，

聯(lián)立化簡(jiǎn)得：x²+（4k﹣2）x﹣4k﹣3=0，

∴x₁+x₂=2﹣4k，x₁x₂=﹣4k﹣3．

∵y₁=kx₁+3﹣k，y₂=kx₂+3﹣k，∴y₁﹣y₂=k（x₁﹣x₂）．

根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得到：

M₁M₂===

∴M₁M₂===4（1+k²）．

又M₁P===；

同理M₂P=

∴M₁P•M₂P=（1+k²）•=（1+k²）•=（1+k²）•=4（1+k²）．

∴M₁P•M₂P=M₁M₂，

∴=1為定值．