Question

10．已知：如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=AC=3cm，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動，P的速度是1cm/s，Q的速度是$\sqrt{2}$cm/s．當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動．設點P的運動時間為t（s）．解答下列問題：
（1）當t為何值時，△PBQ是直角三角形？
（2）問：是否存在某一時刻t，使四邊形APQC的面積與△PBQ面積差最��？如果存在，求出相應的t值；不存在，說明理由；
（3）設PQ的長為y（cm），試確定y與t之間的關系式；寫出當t分別為何值時，PQ達到最短和最長，并寫出PQ的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）由于Rt△PBQ的直角不確定，需分∠BPQ=90°和∠BQP=90°兩種情況討論．由于∠B=45°，因此斜邊是直角邊的$\sqrt{2}$倍，由此建立關于t的等量關系，就可解決問題．
（2）分兩種情況：①當0＜t≤1時，作QM⊥AB于M，證出△BQM是等腰直角三角形，求出△PBQ的面積，得出四邊形APQC的面積-△PBQ的面積是t的二次函數，即可得出結果；
②當t＞1時，作PM⊥AB于M，同①得出四邊形APQC的面積-△PBQ的面積是t的二次函數，即可得出結果；
（3）由勾股定理得出二次函數，即可得出PQ的最小值；當P到達B是，Q恰好到達C，即可得出結果．

解答 解：（1）由題可得：∠A=90°，AB=BC=4，∠B=45°，BQ=AP=t，BP=4-t．
①當∠PQB=90°時，如圖1，
∵∠B=45°，
∴BQ=PQ，
∴BP=$\sqrt{2}$BQ．
∴3-t=$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$t，
解得：t=1；
②當∠BPQ=90°時，如圖2，
同理可得：BQ=$\sqrt{2}$BP，
∴$\sqrt{2}$t=$\sqrt{2}$（3-t），
解得：t=$\frac{3}{2}$；
綜上所述；當t為1秒或$\frac{3}{2}$秒時，△PBQ是直角三角形．
（2）分兩種情況：
①當0＜t≤1時，作QM⊥AB于M，如圖3所示：
∵∠B=45°，
∴△BQM是等腰直角三角形，
∴QM=BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BQ=t，
∴△PBQ的面積=$\frac{1}{2}$BP•QM=$\frac{1}{2}$×（3-t）×t=$\frac{3}{2}$t-$\frac{1}{2}$t²，
∴四邊形APQC的面積=△ABC的面積-△PBQ的面積=$\frac{1}{2}$×3×3-（$\frac{3}{2}$t-$\frac{1}{2}$t²）=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{3}{2}$t+$\frac{9}{2}$，
∴四邊形APQC的面積-△PBQ的面積=t²-3t+$\frac{9}{2}$=（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，當t=$\frac{3}{2}$時，面積差最小，
但是t=$\frac{3}{2}$＞1，不符合題意；
②當t＞1時，作PM⊥AB于M，如圖4所示：
∵∠B=45°，
∴△BPM是等腰直角三角形，
∴PM=BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（3-t），
∴△PBQ的面積=$\frac{1}{2}$BQ•PM=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$t×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（3-t）=$\frac{3}{2}$t-$\frac{1}{2}$t²，
∴四邊形APQC的面積=△ABC的面積-△PBQ的面積=$\frac{1}{2}$×3×3-（$\frac{3}{2}$t-$\frac{1}{2}$t²）=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{3}{2}$t+$\frac{9}{2}$，
∴四邊形APQC的面積-△PBQ的面積=t²-3t+$\frac{9}{2}$=（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，當t=$\frac{3}{2}$時，面積差最��；
因此，存在某一時刻t，使四邊形APQC的面積與△PBQ面積差最小，t=$\frac{3}{2}$秒；
（3）根據題意得：1≤t≤$\frac{3}{2}$時，存在t的值，使PQ最短，t=$\frac{6}{5}$；理由如下：
如圖3所示：PM=3-2t，QM=t，
由勾股定理得：PQ²=PM²+QM²=（3-2t）²+t²=5t²-12t+9=5（t-$\frac{6}{5}$）²+$\frac{9}{5}$，
∴當t=$\frac{6}{5}$時，PQ²最小=$\frac{9}{5}$，
∴PQ的最小值=$\sqrt{\frac{9}{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
當t=1時，PQ=$\sqrt{2}$＞$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；
當t=$\frac{3}{2}$時，PQ=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$＞$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；
綜上所述：當t=$\frac{6}{5}$秒時，PQ最短，最小值=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；
當P到達B是，Q恰好到達C，此時t=3秒，PQ的最大值=BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理、三角形面積的計算等知識；本題綜合性強，難度較大，需要通過作輔助線進行分類討論才能得出結果．