Question

已知△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，∠A=60°，，則r的取值范圍是________．

Answer 1

0＜r≤1
分析：首先假設(shè)CF的長為x，則BF的長為．運用∠A=60°用內(nèi)切圓半徑表示AE的長，進而通過x、r表示出AC、AB的長，并表示出△ABC的面積．再將△ABC的面積用三個小三角形面積的和表示出來．這樣就建立起了關(guān)于x、r的關(guān)系式．將關(guān)系式看做關(guān)于x的一元二次方程判定r的取值范圍．結(jié)合實際r的最后取值范圍即可確定．
解答：解：方法1：設(shè)CF的長為x，則BF的長為．
在Rt△AEO內(nèi)，AO===2r，AE=AO•cos30°=
∴AC=AG+CG=AE+CF=，AB=AE+BE=
在△ABC中，AB邊上的高=AC•sin60°=
S_△ABC=
S_△ABC=S_△ABO+S_△BCO+S_△ACO==
∴=
化簡得
∴△=≥0，即3r²-2r-1≤0
解得
結(jié)合題意只能是0＜r≤1．
方法2：設(shè)AB=x，AC=y，
因為S_△ABC=AB•AC•sinA=（a+b+c）r
代入數(shù)據(jù)得到r=①
又在直角三角形AEO中，AE=r=（x+y-2）
得到x+y=2（r+1）xy=2y（r+1）-y ²
代入①，整理得到關(guān)于y的一元二次方程y²-3（r+1）y+（2r²+4r）=0
因為△≥0
得到r²+2r-3≥0
所以-3≤r≤1
結(jié)合題意只能是0＜r≤1．＜R《1
故答案為0＜r≤1．
點評：本題考查三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心、一元二次方程的應(yīng)用．本題解題的關(guān)鍵是將求r的取值范圍轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式△=b²-4ac求解．