Question

17．如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙M經(jīng)過原點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（$\sqrt{6}$，0）與點(diǎn)B（0，-$\sqrt{2}$），點(diǎn)D在劣弧$\widehat{OA}$上，連接BD交x軸于點(diǎn)C，且∠COD=∠CBO．
（1）求⊙M的半徑；
（2）求證：BD平分∠ABO；
（3）在線段BD的延長線上找一點(diǎn)E，使得直線AE恰好為⊙M的切線，求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A（$\sqrt{6}$，0）與點(diǎn)B（0，-$\sqrt{2}$），可求得線段AB的長，然后由∠AOB=90°，可得AB是直徑，繼而求得⊙M的半徑；
（2）由圓周角定理可得：∠COD=∠ABC，又由∠COD=∠CBO，即可得BD平分∠ABO；
（3）首先過點(diǎn)A作AE⊥AB，垂足為A，交BD的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥OA于點(diǎn)F，易得△AEC是等邊三角形，繼而求得EF與AF的長，則可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（$\sqrt{6}$，0）與點(diǎn)B（0，-$\sqrt{2}$），
∴OA=$\sqrt{6}$，OB=$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵∠AOB=90°，
∴AB是直徑，
∴⊙M的半徑為：$\sqrt{2}$；

（2）∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA，
∴∠CBO=∠CBA，
即BD平分∠ABO；

（3）如圖，過點(diǎn)A作AE⊥AB，垂足為A，交BD的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥OA于點(diǎn)F，即AE是切線，
∵在Rt△AOB中，tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OAB=30°，
∴∠ABO=90°-∠OAB=60°，
∴∠ABC=∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABO=30°，
∴OC=OB•tan30°=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴AC=OA-OC=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°，
∴∠EAC=60°，
∴△ACE是等邊三角形，
∴AE=AC=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴AF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE=$\sqrt{2}$，
∴OF=OA-AF=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于圓的綜合題，考查了勾股定理、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．